二、 中学数学中不等式的证明方法 

   1、比较法

    1.1采用作差比较法来证明不等式   

作差比较法是根据 ，从而将问题转化成为证明 ，解题的顺序一般是先作差，然后是适当将差式变化，通过一定方法看出差式的正负号，变形的一般方法有通分，因式分解，配方法，等量代换等等。

例题1已知 ，求证 .

证明：（1）若 ，由于 ，因此

（2）若 ，由于 ，所以有

综上所述，可知原不等式成立.

1.2采用作商比较法来证明不等式

作商比较法是根据，若 ，那么 .

解题的顺序一般是先作商，然后将商式适当地改变，变形的一般方法有通分，因式分解，配方法，等量代换等等，通过这些方法，最后判断商式的符号是大于还是小于1。

例题2 已知 ，求证 

证明：因为 ，所以 ，作商

故原不等式成立.

对比较法进行一定的总结：一般当我们证明整式、对数不等式等经常用作差法，而证明与正数乘积、幂函数、指数相关的不等式时一般用作商法．而且若“差式”或“商式”中包含字母．那还需对字母的取值范围进行分类讨论．

2、综合法

综合法是采用一些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出需要证明的不等式成立的一种证明方法。其一般的思路是“由因到果”，从已经知道的不等式作为起点，通过一连串的推出变换，推导出求证的不等式。采用综合法由因导果证明不等式，就要发现条件与结论之间的因果关系，因此要在分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系上下功夫，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知的条件，然后进行有效的变形是证明不等式最重要的步骤。

综合法证明不等式的逻辑关系一般是： 

例题1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：

证明 先将不等式的左边进行推出变换：

 由于a，b，c是不全相等的正数，从而  

且三个式子不能全部取到等号，故 

即 .

例题2 已知 ，求证： 

证明 首先将原不等式进行变换，将原不等式两边同乘以3，右边展开，减去重复的项，从而可以得到

 从而只要证明  两式相减可以得到 

同理可得故原不等式成立.

3、分析法

从求证的不等式为起点，一步一步找到使不等式成立的充分条件，直到需要的条件被确定成立，就可以说求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．首先假定所要证明的不等式成立，然后逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．