， ，化简得 ， .

依据定理1.1，若 ，

当 与 符号相异时，函数 在点 处取得极小值；当 与 符号相同时，函数 在点 处取得极大值.

定理1.3 设函数 为 所唯一确定隐函数， 存在驻点 ，且 ， 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，在点 处，当 时，则有

（1）若 ，函数 在点 处取得极小值；

（2）若 ，函数 在点 处取得极大值.

证  已知函数 在点 处的 矩阵为 .

由判断矩阵正定性的充要条件知，当矩阵 的特征值全大于0时，矩阵 是正定的；当矩阵 的特征值全小于0时，矩阵 是负定的.

已知矩阵 的特征多项式为源`自*751~文·论^文`网[www.751com.cn

 若要求矩阵 为正定的，则有 ， .

当 时，在点 处，若 ，则 ；，在点 处，若 ，或若 ， ，则 .

可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.

当 时，在点 处，若 , ,或若 ，则 ；在点 处，若 ，则 .

可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.

综上，当满足 时，在点 处，若 成立时，函数 在点 处取得极小值.

若要求矩阵 为负定的，则有 ， .

当 时，在点 处，若 ， ，或若 ，则 ；在点 处，若 ，则 .

可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.

当 时，在点 处，若 ，则 ；在点 处，若 ，或若 ， ，则 成立.

可知，当满足 ， 时，有 ， 成立.

综上可知，当满足 时，在点 处，若 ，函数 在点 处取得极大值.

定理1.4 设函数 为 所唯一确定隐函数， 存在驻点 ，且 ， 在点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，在点 处，当 时，则有

（1）若 ，函数 在点 处取得极小值；

（2）若 ，函数 在点 处取得极大值.

证  已知函数 在点 处的 矩阵为