摘要：本文利用Ricceri给出的三解定理，得到了一类含（p(x),q(x)）-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程组弱解的存在性和多解性。

毕业论文关键词：变指数，椭圆型方程组，三解定理

Abstract:In this paper,we obtain the existence and multiplicity of weak solutions for a class Quasilinear elliptic systems involving (p(x),q(x))-Laplacian operations,the main tool is three critical points theorem given by Ricceri.

Keywords:Variable index，Elliptic systems，Three critical points theorem52400

目录

1 前言3

2 预备知识5

3 定理证明8

4 结论15

参考文献16

致谢18

1 前言

现代科学技术的发展很大程度依赖于物理、化学、生物学及工程技术等成就和进展，而这些学科自身的精确化，则是取得进展的重要保证。在精确化过程中提出了大量的非线性问题，许多是非线性偏微分方程（组），这些问题的解决将对科学技术的发展产生推动作用，同时也对数学自身的发展有重要的影响。国内外在科学技术中提出的重要非线性偏微分方程，许多是拟线性偏微分方程。例如，在非牛顿流体力学和相变理论中提出的非线性本构方程即非牛顿渗流方程（组）为拟线性抛物型方程，稳态非牛顿渗流方程（组）为拟线性椭圆型方程（组）。在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的及其丰富的规律和现象来指导实践。

最近，以Ricceri 中的三解定理为基础，得到了关于方程多解性的一系列结果。如在文 中Bonanno利用三解定理得到了下面两点边界值问题的三个解的存在性，源'自^751;文,论`文'网]www.751com.cn

 这里 是一个正参数， 是一个连续函数。

在文 中，Candito将文 的主要结果推广到非自治的情况，

这里 是一个参数， 是一个连续函数。

在文 中，Ricceri的三解定理已被应用于P-Laplacian型方程问题的多解性。在文 中，他和Ge将 的主要结果推广到了拟线性微分方程，即

 在 中,作者考虑了如下的问题：      (1.1)

这里 是 的非空有界开集， 是连续函数，其中 称为 算子。作者证明了存在一个开区间 和一个正实数 ，那么对任何 ，问题(1.1)在 中至少存在三个范数小于 的解。

在文 中，作者考虑了如下类型的问题：

这里 是有界的且边界光滑的区域， 是一个实数， 是在 上的连续函数， ，我们用 表示 的外向单位法向向量。其中算子 称为 算子。作者在一定条件下利用Ricceri三解定理证明了(1.2)三个弱解的存在性。

在文 中，作者考虑了如下类型的问题：

这里 是边界属于 的有界区域， 是实数， ， 。相应的方程称为变指数方程。作者在一定的条件下利用Ricceri三解定理证明了(1.3)三个弱解的存在性

在文 中，作者考虑了如下的问题：   (1.4)

作者在一定条件下利用Ricceri三解定理证明了(1.4)三个弱解的存在性。

在文 中，作者考虑了如下的问题：               (1.5)

利用Ricceri三解定理作者同样证明了(1.5)三个弱解的存在性。

本文考虑如下类型问题：     (1.6)

这里 ， 是   是一个函数，满足对所有 , 在 上是可测的，对所有 ， 在 上是 的, 表示 关于 的偏导数， ，且