摘要  组合恒等式是组合数学的一个重要内容，在数学和其他学科的各个分支中的应用非常广泛.组合恒等式在人们的学习、生活中有着十分重要的作用，然而组合恒等式的证明具有很强的灵活性，且研究方式多种多样，本文通过一些具体的例子，总结归纳了证明组合恒等式的几种常用方法.52850

毕业论文关键词  组合恒等式；格路模型；母函数；组合变换；概率

0  引言

组合数 满足的一些关系式称为组合恒等式.由于组合数本身的含义以及与其它学科知识之间的碰撞融合，使得在数学的许多领域中出现越来越多的组合恒等式.现在组合恒等式已经成为组合数学的一个重要的研究方向.牛顿的二项式定理是研究和证明一些组合恒等式的重要方法，根据二项式公式推广得到的多项式公式和阿贝尔恒等式则又大大促进了组合恒等式的发展.H.W.Gould在其编著的《组合恒等式》一书中，罗列了500多个组合恒等式，并且给出了许多证明组合恒等式的方法.而后来徐利治和高尔德合作研究得出的Gould-徐反演公式则又使组合恒等式的证明得到了拓展.另外，组合解释也是证明组合恒等式的一个重要方法.随着计算机的发展，通过应用数学机械化WZ方法证明组合恒等式，又使得组合恒等式得到了进一步的发展.

本文在了解组合恒等式基本性质和相关知识的基础上，总结并归纳了多种常用的证明组合恒等式的方法.

1  预备知识

定义1  从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

记作 ，并规定 ，  ， ，   .

定义2  设   是一个数列，则称形式幂级数 

为数列  的母函数或生成函数.

定理1 ， .源-自/751+文,论^文'网]www.751com.cn

定理2（二项式定理）  设n是正整数，则对一切x和y，有 .

定理3  设  是一个给定的数列，如果 ， 

那么 ，   称这两个等式为二项式反演公式.

定理4（棣莫弗定理） .

组合恒等式的基本性质

性质1  .证明    .性质2  .

证明   ，而  ，所以 .性质3  .

证明    ，而

 于是 .性质4  .证明  因 ，令 ，得 .

性质5  .证明  因 ，令 ，得 .

2  组合恒等式的证明方法

一． 利用组合数的计算公式

例1 求证 .证明：因为 所以 .

二． 微分方法例2   求证 .

证明：将  两边同乘 ，得

 ，对其两边求导，得 ，

将上式两边再同乘 ，得到

 ，再对两边求导，得 ，令 ，则有