i. 交换矩阵的第 行（列）与第 行（列）： 或 ；

ii. 非零常数 乘矩阵的第 行（列）：  或 ；

iii. 矩阵的第 行（列）加上第 行（列）的 倍： 或 ；

（3） 初等矩阵[2]源-自/751+文,论^文'网]www.751com.cn

由单位矩阵 经过一次初等变换以后得到的矩阵称为初等矩阵，是三中类型：

i. _ _交换 的第 行与第 行（或第 列与第 列）得到的矩阵；

ii. 或 用数域 中的非零数 乘 的第 行（或第 列）得到的初等矩阵；

iii. ——把 的第 行的 倍加到第 行（或第 列的 倍加到第 列）得到的矩阵；

2行列式的计算

矩阵的初等变换来计算行列式减少了很多的麻烦，通过初等行列变换把行列式变为上三角的形式.

例1 利用初等变换计算行列式： 3用初等变换求线性方程组的解

消元法：线性方程组中的每个方程的系数作为列形成一个矩阵，把这个矩阵化为最简阶梯形矩阵.

例2 解线性方程组：解：对它的增广矩阵作初等变换 

  对应的通解方程组 

其中  称为自由未知量.

4求矩阵的秩

求一个矩阵的秩的时候首先把矩阵化为梯形矩阵，然后梯形矩阵的秩来确定原来矩阵的秩. 用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵，任意一个 的矩阵通过一系列初等变换化为 梯形矩阵.从而可知用初等变换得到的矩阵的秩跟原来的矩阵的秩相等.

例3 设A=  ，求矩阵A的秩。

解：因    A=    = 

从而可知 ·

类似上面例题如果遇到求向量组秩的问题，向量组来构成一个矩阵，使得矩阵的每一行由每一个向量组成的，因此求这新形成矩阵的秩来解决求向量组秩的问题.