定义3  设 ， 为 的代数余子式，则称 为 的伴随矩阵.

设 是 阶正交矩阵，则 .当 时，称 是第一类的.当 时，称 是第二类的.

定义4 设A是是欧氏空间 的一个线性变换，若 ，都有(A A ,则称A为 的一个正交变换.

定义5  设 是欧氏空间，由两两正交的单位向量作成的基叫做标准正交基.

    定义6  设 是一个方阵， 是复数，若有非零的 维复列向量 使 ，则称 为 的一个特征值， 是 的属于特征值 的一个特征向量．

2.2正交矩阵的运算性质

由正交矩阵的定义及其等价条件可以证明正交矩阵有下列运算性质.

性质1 设 是 阶正交矩阵， 是整数，则 、 、 、 都是正交矩阵.

注：正交矩阵 的和、差一般不是正交矩阵．如取 ,则 都为正交矩阵，但 ，所以 不是正交矩阵.显然 也不是正交矩阵．

性质2  设 正交矩阵，则 是正交矩阵当且仅当 ．

证明 设 是 阶正交矩阵， ,则 ，所以 是正交矩阵当且仅当 .

性质3  矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵．

证明 首先证明充分性．若 是正交矩阵，则 可逆，且 也是正交矩阵，而 ，又因为 ，所以 是正交矩阵.

其次证明必要性．若实矩阵 的伴随矩阵 是正交矩阵，则 可逆，于是 可逆.由于 ，故 ，又由于 ，故 ，由 得 ，所以 也是正交矩阵.

2.3正交矩阵的特征值

性质4  正交矩阵的特征值的模为1.

证明 设 是正交矩阵 的任一特征值，则存在 使 ，取共轭转置得 ，于是 ，由于 是正交矩阵，所以 ，而由 有 ，所以 ，即 的模为1.

特别的有 

(1)  奇数维欧氏空间的第一类正交矩阵必以1作为其特征值.

(2)  偶数维欧氏空间的第二类正交矩阵必以-1作为其特征值.

事实上 设A是奇数维欧氏空间的第一类正交变换，其特征多项式为 ，

则 .由于 是 的奇数次实多项式，故其非实根必共轭出现，所以可以记其为 ,则 ，而实根 等于 或 .但 ， .故 不可能全为 （因为 是奇数），所以必有一根是 ，同理偶数维欧氏空间的第一类正交变换比以 作为其特征值.

    引理1  设 则存在非退化阵 ,使得源'自:751]'论-文'网"]www.751com.cn

  =   . 引理2  若 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 ，使得

 ,其中 为矩阵 的特征值．若 是正定矩阵，则有 全大于零．

 引理3  设 是 级复矩阵，存在可逆矩阵 ,使得

 ，  是 阶 块， ,

3 矩阵的 分解

3.1矩阵的 分解基本概念与结论

    定义  如果实（复）非奇异矩阵 能够转化成正交（酉）矩阵 与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积, 即

 ,则称上式为 的 分解.

     结论1 设 是一个 级矩阵， ，则 可唯一地分解为 ，其中

 正交， 是一个主对角元为正的上三角矩阵． 

证明 设 令 ，其中 为 的列向量，那么

 线性无关．由施密特方法：令