引理2. 2 任意一个非零的 的 －矩阵 都等价于下列形式的矩阵

其中 r≥1,   是首项系数为 的多项式,   . 这个矩阵称为 的标准形. 正如数字矩阵的标准形是唯一的,  －矩阵的标准形也是唯一的. 

引理2. 3 一个 的 －矩阵 是可逆的充分必要条件为行列式 是一个非零的数. 

有了以上必要的定义和定理后，我们来看看 矩阵在以它为元素的矩阵方程中有何应用. 

    3.求含 —矩阵的矩阵方程的解. 

鉴于 —矩阵的此应用中经常用到 —矩阵的逆矩阵, 故先介绍一种求 —逆矩阵的方法. 

3.1用行初等变换法来求 －矩阵的逆矩阵

定理3. 1 任何 －矩阵都可以经过一系列的行初等变换化成行阶梯形 －矩阵．

证明 设设    0(若为零则可以通过对换两行使    0, 若仍然不能则第一列全为零), 如果 第一列有元素  不能被   整除, 由文献[1]知 经过一列的行初等变换化为 且 左上角的元素   次数比a  的次数低. 若 第一列还有元素不能被  整除, 再用同样方法得到 且 左上角元素的次数比b  次数低. 如此下去得到一系列的相互间等价的λ—矩阵A  , , , , 它在左上角的元素都不为零且次数越来越低, 但次数不可能无限次降低, 所以必将终止于一个矩阵 , 它的左上角元素能够整除第一列每个元素. 对 作初等变换   

再对 重复以上过程, 从而可以把矩阵化成源'自:751-'论.文'网"]www.751com.cn

假设 是 阶方阵, 下面将考虑 的逆矩阵. 

定理3. 2　假设 是上三角矩阵（下三角矩阵）, 则 为可逆矩阵的充分必要条件是 的主对角线上元素全都是非零的数．

证明 先证必要性．若 是可逆矩阵, 则 是非零的数, 则主对角线上元素的乘积是非零的数, 则主对角线上元素都是非零的数．

充分性显然．

定理3. 3　假设 可逆, 则能够用行初等变换法求矩阵的逆．

证明 假设 经过一系列行初等变换化成上三角矩阵 , 由前面叙述, 只要证明 可逆即可. 对 作一次行初等变换, 等价于左乘一个初等矩阵, 则 ＝ , 其中 都是初等矩阵, 而初等矩阵都是可逆矩阵, 故初等矩阵的行列式都是非零的数, 则 可逆．

由此, 我们证明了可以应用行初等变换法求 －矩阵的逆矩阵. 应用该方法求高阶 －矩阵的逆矩阵比较简单. 同时, 在进行行初等变换的过程中, 如果得到的上三角矩阵主对角线上不是非零的数那么 不可逆, 所以该法还可以判断矩阵是否可逆. 

3.2求 矩阵的矩阵方程的解. 

对于一类简单的矩阵方程    , 可以通过求出 的逆矩阵 , 再用 左乘 得到, 也可用行初等变换求得:设  都是行初等变换,  可设      , 

则即对 作这些初等变换即可求得. 以下举了一个较简单的情况    （ 为数字矩阵）作为验证.