定义2矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 

关于求解矩阵的秩,也有以下几种方法:

(1)找到矩阵当中非零子式子的最高阶数即为矩阵的秩;

(2)求矩阵的标准形,主对角线上1的个数即为矩阵的秩;

(3)在初等变换的情况下,把矩阵变成行阶梯形矩阵，其中非零行的行数就是矩阵的秩(较上两种方法简单).

2.3矩阵的秩的基本性质

(1) (2)  (3)若 则 (4)若 则 (5) 

3 矩阵的秩与向量间的线性关系

    判断向量组线性相关时,我们经常用  

表示两个向量线性相关.本节我们介绍一些复杂问题的解法,也就是用矩阵的秩的有关知识解决这类问题.

3.1线性相关及其判断源'自:751-'论/文'网"www.751com.cn

定义3如果向量组  ,  ,   （s  2）中有一个向量可以有其余的向量组线性表示,那么向量组   ,  ,   称为线性相关.

定理1一向量组 , , ,   .其中 是 矩阵. 为 维列向量.且 则

      , , , 线性相关   有非零解  .

 , , , 线性无关   只有零解  

定理2 设 , , , 与 , ,  , 是两个向量组.如果

1)向量组 , , , 可以经 , , , 线性表出,

2) ,

那么向量组 , , , 必线性相关.

    例1 判断 能否由 , , , 线性表出,若可以,给出线性表示式.其中 

         =（1,2,1,1）, =（1,1,1,1）, =（1,1,-1,-1）,

          =（1,-1,1,-1）, =（1,-1,-1,1）.

    解 考虑以 为系数列向量,为 常数列向量的非齐次线性方程组  

易求得 , , .由克拉默法则,得到上述方程组的唯一解为

例2 已知 可用 线性表示,但不能用 线性表出,试判断：(1) 能否可以用 线性表示;

(2) 能否可以用 线性表示,并说明理由.

解  不能用 线性表示,但能用 线性表示.因为 可用 线性表示.可设

则必有 ,否则 可用 线性表示,与已知矛盾.所以

即 可由 线性表出.

如 ,代入 知 与已知矛盾.即 不能用 线性表出.

例3 若向量组 线性相关,向量组 线性无关,试问 能否由 线性表出?并说明理由.

解 不能,因为已知 线性无关,则 线性无关,又因为 线性相关,所以 可由 线性表示.设 ,如 能由 线性表示,那么

    ,即 可由 线性表示,则 线性相关,与已知矛盾.因此, 不能用 线性表出.

3.2极大无关组

    定义4 一向量组 , , ,  不线性相关,即没有不全为0的数 使 就称线性无关.   

    例4 求向量组 的极大线性无关组

    解 1）考虑 ，假设存在 使得 满足 得 则 是线性无关的.