摘要：本文介绍了矩阵特征值与特征向量的一些理论以及相关的应用，通过一些例子来展现特征值与特征向量在解决问题中的实用性和优越性.

毕业论文关键词：特征值，特征向量，矩阵的秩，二次型56257

Abstract：We introduced the theory of matrix eigenvalues and eigenvectors of some related applications in this paper, And we gave some examples to show practicability and superiority of eigenvalues in solving problem.

Keywords： eigenvalues,eigenvectors,rank of matrix,quadratic form

目  录                                    

1 引言 4

2 矩阵的特征值与特征向量的一般理论 4

3 矩阵特征值与特征向量的应用 6

3.1 用方阵零特征值的代数重数确定方阵的秩 6

3.2 特征值和特征向量与矩阵对角化 8

3.3 特征值法求解二次型的条件最值问题 9

3.4 判定实二次型的正定性 12

参考文献 14

1  引言

矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段,由此演绎出丰富多彩的理论画卷.求解矩阵的特征值和特征向量,是高等数学中经常碰到的问题.一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量.

为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基，使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质能对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化难为易, 化繁为简.本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. (见参考文献[1] [2] [4])源'自:751-'论/文'网"www.751com.cn

 2  矩阵的特征值与特征向量的一般理论

定义1[1] 设 是数域 上的一个 阶方阵,若存在一个数 以及一个非零 维列向量 ,使得

则称 是矩阵 的一个特征值,向量 称为矩阵 关于特征值 的特征向量．

定义2[1] 设 是数域 上一 级矩阵,  是一个文字. 矩阵 的行列式