例如，点集 有两个聚点 ；点集 只有一个聚点 ，又若 为开区间 ，则 内每一点以及端点 都是 的聚点；而正整数集 没有聚点，任何有限数集也没有聚点.

    聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 至少有一个聚点.

证 因 为有界点集，故存在 ，使得 ，记 .

现将 等分为两个两个子区间，因 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，记此子区间 ，则 ，且 .再将 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为 ，则 ，且 .将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列 ，它满足 ， ，即 是区间套，且其中每一个闭区间都含有 中无穷多个点.

由区间套定理，存在唯一的一点 ，于是由区间套定理的推论，对任给的 ，存在 ，当 时有 .从而 内含有 中的无穷多个点，有聚点定义可知， 为 的一个聚点.

3利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律

通过上节教材 上用闭区间套定理证明柯西收敛准则和聚点定理的经典方法，我们可以总结得这一经典方法如下：

3.1 寻找一个具有某种性质 的点(数)

步骤:  (1) 找一个闭区间 ，使它具有某一与 相应的性质 ；

       (2) 证明将 等分为两个闭区间，则至少有一个闭区间 也具有性质 ；

       (3) 继续等分得到一系列闭区间 ,它们满足闭区间套定理的两个条件，同时，每一个闭区间都具有性质 ，所以，存在唯一的一个数 属于所有闭区间；

       (4) 证明 具有性质 .