当然，只能对收敛级数讨论余式，对于发散级数来说，因为它没有和，所以根本谈不上余式.

例1 函数列  

  在区间 上收敛；

  在每一个有穷的区间  上一致收敛； 

  在区间 上一致收敛.

试说明各是什么意思？

解 （1）对于任意 及任意的 <  都存在一个正整数    ，使得当 时恒有

 ，

则称函数列 在区间 上收敛，这里 不仅仅与 有关，而且与值 也有关.

      （2）对于每一个  ，如果对于任给的 ，存在一个

 ，使当 时，对于 内的一切 值，均有

 ，

则称 在每一个  上一致收敛.

（3）如果对于任给的 ，都有正整数 存在，这里 仅与 有关，使当 时，对所有的      ,均有

 ，则称 在 上一致收敛.

例2 讨论级数 在 上是否一致收敛.

解 当0  时，   ；

当 时， .

所以，级数当0 时收敛，其和是   .

现证在区间 上级数是一致收敛的，如果一致收敛，则对于任意 必

可找到正整数 (它只依赖于 而与 无关），使得当 时，有 

不是一般性，设 ，则由不等式 ，两边取对数 ，再两边除以负数 ，得  .