定义3.1.1 假设E、F是半序Banach空间, , ,若对任意的x,y∈D, ,均有 ,则称 是增算子。
定义3.1.2 假设E是半序Banach空间, , ,
(1)若 满足 ,则称 是算子方程 的下解,简称 是 的下解。
(2)若 满足 ,则称 是算子方程 的上解,简称 是 的上解。
定理1.1 假设E是半序Banach空间, , , , 。若
(1) 是增算子;
(2) 是 的下解, 是 的上解; (3) ;
(4) 是 中的相对紧集,则
(1) 在D中存在最小的不动点 ,最大的不动点 ,即 , 都是 的不动点,并且若 也是 的不动点,则 ;
(2)若分别以 , 为初始元素,作迭代序列
成立。(参见文献7)证明:
由条件(1),条件(2),式(3.1)和 ,可得式(3.2)成立。由式 (3.1)和式(3.2)知, 。由条件(4), 也是相对紧集。在 中,令 ,由条件(4)有 。同理,存在 ,使得 。
下证 , 分别是 在 中的最小不动点和最大不动点。
假设 ,使得 。则由结论(1)有 ,即 。
再以 作用之,有 。由数学归纳法,有 ,从而有 。
现在我们考虑Cauchy问题 一阶常微分方程周期系统的研究(3):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_6472.html