定义2.2[2]  对于有界函数  ，它的所有子列的极限所组成的数集的最大值叫做此函数  的上极限，最小值叫做此函数的下极限.

2.2 上极限和下极限的性质

定理2 .2[3]对任何有界点列（数列）  有  . 

定理2.3[3]   的充要条件是  .

证：必要性.设 ,则  的任一子列都收敛于  ,存在  的两个子列，其极限分别等于  的上极限和下极限.又  的任一子列都收敛于A ,

故这两个子列的极限都是A.所以

 .充分性.设 ,由数列极限定义