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关于函数项级数一致收敛性的判定(2)

时间:2021-04-21 20:31来源:毕业论文
级数(2.1)在 上每一点 与其所对应的数项级数(2.3)的和 构成一个定义在 上的函数,称为级数(2.1)的和函数,并且写作 , , 即 , . 也就是说,函数

级数(2.1)在 上每一点 与其所对应的数项级数(2.3)的和 构成一个定义在 上的函数,称为级数(2.1)的和函数,并且写作

 ,    ,

 ,    .

 也就是说,函数项级数(2.1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2.2)的收敛性.

 定义在 上的函数项级数

                                              (2.4) 

的部分和函数为 . 当 时,

.

所以几何级数(2.4)在 内收敛于和函数 ;当 时,几何级数是发散的.

定义2.2  设 是函数项级数 的部分和函数列. 若 在数集 上一致收敛于函数 ,则称函数项级数 在 上一致收敛于函数 ,或称 在 上一致收敛.

3. 函数项级数一致收敛性的常规判别法来.自/751论|文-网www.751com.cn/

    定理3.1  设函数项级数 定义在数集 上, 为收敛的正项级数,若对一切 ,有

                           (3.1)

则函数项级数 在 上一致收敛.

证明  根据假设正项级数 收敛,由于数项级数的柯西准则,任给正数 ,存在某正整数 ,使得当 以及任何正整数

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