3)  是定义在 上的连续函数，且满足 ，则必存在 ，使 ．

证明　若 或 ，则取 或 ，从而 成立．

现设 ，令 ，则 ， ．

由于 是连续函数，故 也是连续函数．则由根的存在性定理，至少有一点 ，使 ，即 .

3　不动点原理的应用

3.1　在求方程解中的应用

　　由不动点的代数意义可知，欲证明 为方程 的根，只须说明 为 的不动点．

    定理1[5]　若 是 的不动点，那么 也是 的不动点．文献综述

    证明   是 的不动点，那么 ，故 ，从而命题

得证．

    例1　求方程 的解．

    解　方程即为 ，令 ，则问题可转化为确定函数 的不动点．

    由定理1可知 的不动点也是 的不动点，而 的不动点为 ， ．故 必含因式 ， ．由多项式除法，有 ，从而可得方程的解为 ， ， ， ．

3.2　在数列通项中的应用

函数不动点在求数列通项公式中有广泛的应用，在高中阶段经常会利用函数不动点求数列的通项公式，对此有下面定理：

定理2　设 （ ），数列 满足 ，则有

 ．

证明　设 是函数 的不动点，得

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　（1）      

又　　　　　　　　　　　 　　　  　                          （2）      

（1）-（2）得　　　　　　　　　  ．

　　令 ，求得函数 的不动点为 ．

故　　　　　　　　　　　   ．

例2　已知正项数列 ，有 ， （ ）．求通项公式 ．

解　设 ，则 , 且 ．

　　令 ，得 ．则

                            ．

从而数列 是以 为首项、 为公比的等比数列．故  ．

由 ，得 ，即 （ 为正整数）．来.自/751论|文-网www.751com.cn/

定理3[6]　设数列 满足 ，函数 ，且首项 ．

1)函数 有两个相异的不动点 、 ，则数列 是一个等比数列，且

 ；

2)函数 仅有一个不动点 ,且 ,则数列 是一个等差数列，且

 ．

证明　1）由函数 有两个相异的不动点 、 ，则有 ，得

 ．

即 ，则 ．

又因为 ，所以 ，即

 ．

同理可得