摘 要：矩阵是高等代数的主要研究对象，它的性质有着广泛的应用，而矩阵的许多性质与数域有关。本文主要利用实数平方和的性质、实二次三项式判别式、实系数多项式的根的性质、向量的正交性、实对称矩阵的正定性、实函数的连续性等相关知识对实矩阵的性质进行了研究。54898

毕业论文关键词： 实矩阵，正定矩阵，正交矩阵，实函数

Abstract:  Matrix is the main research object of higher algebra which is widely used,and the nature of many properties of the matrix is related to the number field. I research the nature of the solid matrix by using the properties of real numbers sum of squares,real quadratic trinomial discriminant, the nature of the real coefficient polynomial roots, vector of orthogonality.Real symmetric matrices is qualitative and the continuity of real function. 

Keywords： real matrix, positive definite matrices, orthogonal matrix, real function

目   录

1引言4

2实矩阵与实数平方和性质有关的性质5

3实矩阵由实二次三项式判别式得到的性质8

4实矩阵由实系数多项式的根得到的性质8

5实矩阵由向量正交性得到的性质8

6实矩阵由正定性得到的性质10

7实矩阵由实函数连续性得到的性质11

结论13

参考文献14

 1 引言

矩阵是一个重要的数学工具，也是高等代数的主要研究对象．矩阵的很多性质，其中不少性质与数域有关．本文主要探讨与实矩阵的与实数域有关的一些性质．

在本文中， 表示矩阵 的转置矩阵； 表示矩阵 的迹(即矩阵 的对角元素的和)； 表示矩阵  的秩； 表示矩阵 的行列式； 表示单位矩阵； 表示对角元素为 的对角矩阵， 表示实数域， 表示由实的 维向量作成的欧氏空间．

本文中用到如下一些基本概念和结论，它们在文[1]中都可找到．

定义 1 设 是一个 阶矩阵，若 ，则称 为对称矩阵(或反对称矩阵)．

定义2设是一个 阶矩阵， 是复数， 非零的 维复列向量，若 ，则称 为 的一个特征值， 是 的属于特征值 的一个特征向量．

定义 3 设 为 维实的列向量，若 ，则称 为单位向量；若 ，则称 与 是正交的．

定义 4 设 是一个 阶实矩阵，若 ，则称 为正交矩阵．

命题 1 设 是一个 阶实矩阵，则 为正交矩阵当且仅当 的行（或列）向量组是标准正交的．

定义 5若 是一个 阶实对称矩阵，则有 阶正交矩阵 ，使得

   其中 为矩阵 的特征值．

命题2 实对称矩阵的特征值都是实数．

定义 6  设 是一个 阶实对称矩阵，若对于任意非零的 维实向量 ，都有 （或  0）则称 是正定矩阵（或半正定矩阵）.

命题3 设 是一个 阶实对称矩阵，若下列条件中有一个成立时，则 是正定矩阵：

(1)  的正惯性指数为 ．

(2)  的顺序主子式全大于零．

(3)  的特征值全大于零．

(4)  与 合同．

定义7设 为一个向量组，若有不全为零的数 ，使  ，则称向量组 是线性相关的，否则称向量组 是线性无关的.

2 实矩阵与实数平方和性质有关的性质

设 是实数，若 ，则 ．利用实数平方和的这一性质可以得到实矩阵的一些性质．

性质1 设 是一个 阶实矩阵，若 ，则 ．源'自:751`!论~文'网www.751com.cn

证明 设 ，由 有 ，从而由 是对称矩阵有  ，

而 是实矩阵，即 是实数，所以由上式有 ，从而 ．

    注1 设 ， 则有 ,但 ．此例说明在复数域上，由 不一定能得到 ． 浅析实矩阵的性质:http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_59151.html