注2 利用实数的平方和的性质可以证明更为复杂的问题.
例1 设 为 阶实对称矩阵, 为 阶实反对称矩阵,若 ,则 .
证明 设 , , ,由于 为对称矩阵, 反对称矩阵,所以 , , ,于是由 有, ,从而以 ,即
,而 是实矩阵知,所以 为实数,因此由上式可知 全为零,所以 .
注3 利用性质1可以证明某些实矩阵的问题.
例2 设 为 阶实矩阵,若 ,则 .
证明一 由 有 ,
所以由 是实矩阵可知 ,即 .
证明二 考虑矩阵方程 ,与 ,其中 为 阶矩阵.设 是 的任意一个解,即 ,于是有 ,即 ,由于 是实矩阵,所以 ,即 的解都是 的解,
由 有 ,即 是 的解,从而 也是 的解,即 ,所以 .
浅析实矩阵的性质(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_59151.html