(1)   为 上凸函数

(2)   为 上递增函数.

定理2.3  设 为 上二阶可导函数，则 为 上凸函数的充要条件是在 上 .

关于凸函数的理论基础主要是琴生于1906年左右所奠立. 著名的琴生不等式，是很多不等式的起源.

2.3  凸函数的若干运算性质来.自/751论|文-网www.751com.cn/

(1)若 是 上的凸函数，对任意常数   0，如果 ,则 也是 上的凸函数; 如果 ,则 也是 上的凹函数

证明：由于 是 上的凸函数，根据凸函数的定义，有

 ，

若 ，用c乘上不等式得

 ，

故 是 上的凸函数.

 ，

故 是 上的凹函数.

(2)若 为 上的凸函数，常数 , 则 也是 上的凸函数.

证明：由于 是 上的凸函数，有

 ，

由于 ，两边同乘以 相加得

 ，

即

 ，

所以， 也是 上的凸函数.

(3)若 与 都是 上非负，递增（递减）的凸函数，则 也是 上的非负，递增（递减）的凸函数.

证明：由于 非负，显然 也非负，再由 的递增（递减）性，也易证 的递增（递减）性，下证 也是 上的凸函数.