成立，将上式两端乘以 即可得到

  ，      

命题得证.

注：可以看出，积分中值定理公式

    （ 在 与 之间）

中，不论 还是 都成立.

例1　设 在 上连续，在 内可导，且存在 ，使得 ，证明在 内存在一点 ，使得 .

证明　对于 式中的右边的 作3种假设

i　若 ，则由积分中值定理，存在 ，使得 ，则 ，又 为中值，必存在 .从而由 在 内可导知，存在 ， ， .故存在 ， .

ii　若 ，同理可证.来~自^751论+文.网www.751com.cn/

iii　 ，两边求导， ，即令 即证.

2.1.2  定积分中值定理的推广

推论1(推广的定积分中值定理)：如果函数 在闭区间 连续，则在开区间 至少存在一个点 ，使得

      ②

成立.

 证明[1]　作辅助函数 如下，

由于 在闭区间 连续，则 在 上是连续函数且可微，则有 成立.

由微分中值定理可知，至少存在一点 ，使得 成立.并且有 ， ，此时即可得到下式