由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如冷却塔）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。

由此可见，对于二次曲线的价值，无论如何也不会估计过高。

1.2  国内外研究现状简介

2  二次曲线相关性质总结

本章节对二次曲线的基本定义、性质进行总结与汇总。

2.1  二次曲线基础知识

2.1.1  二次曲线的定义

从几何角度来看，用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为二次曲线。

通常提到的二次曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。                                   图2-1

3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

而从代数角度看,在笛卡尔平面上，二元二次方程[1]

的图像是二次曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。此外还有一种焦点-准线的观点（严格来讲，这种观点下只能定义二次曲线的几种主要情形，因而不能算是二次曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多二次曲线中重要的几何概念和性质）。来~自^751论+文.网www.751com.cn/

给定一点 ，一直线 以及一非负实常数 ，则到 的距离与 距离之比为 的点的轨迹是二次曲线。

根据 的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：

1)  ，轨迹退化为点（即定点 ）；

2)  （即到 与到 距离相同），轨迹为抛物线；

3)  ，轨迹为椭圆；

4)  ，轨迹为双曲线。

2.1.2  二次曲线的主轴、焦点和准线

基本原理

定义2.1[2] 若   为一复点，则   称为   的共轭复点，简称共轭点，其中 ，分别为 的共轭复数，  和   称为一对共轭点。

    定义2.2[3] 二次曲线一条直径如果平分一组和它垂直的弦，则此直径称为主轴。

定义2.3 两个虚点 ， 叫做圆点。凡过一个圆点( 直线除外) 的直线叫做迷向直线(极小直线)。

定义2.4[4] 从 ， 两点引二次曲线的切线，共有四条，它们的有穷远点称为二次曲线的焦点。焦点的极线称为准线。

定义2.5[5] 过二次曲线中心且以渐进方向为方向的直线称为二次曲线的渐近线。

定理2.1 定点P关于二次曲线的所有共轭点必共线 。直线 称为 的极线， 称为 的极点.

    定理2.2[6] 无穷远直线的齐次方程为 ( 注意: 无穷远直线无非齐次方程)。

在射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线和解析几何中的定义是一致的。