摘　要：酉矩阵在信息论、组合数学、辛几何等众多学科领域有十分广泛的应用. 本文探讨了酉矩阵的若干性质及其应用，得到了关于酉矩阵的若干结果. 

毕业论文关键词：矩阵，酉矩阵，正交矩阵，矩阵分解59192

Abstract：Unitary matrix has very wide range of applications in a wide variety of subjects such as information theory, combinatorial mathematics and symplectic geometry. In this paper,we discuss the application of the unitary matrix and several properties, and get a number of results of unitary matrix.

Keywords：Matrix，Unitary Matrix，orthogonal matrix，matrix decomposition

1 前言 4

2 酉矩阵的若干定义 4

3 酉矩阵的若干定理 4

4 酉矩阵在矩阵分解中的应用 7

结论 9

参考文献 10

1  引言

酉矩阵是正交矩阵在复数域上的推广，而正交矩阵在欧氏空间上有着许多重要的性质，为高等数学的证明和计算带来了很多便利，因此推广酉矩阵在复数领域上的性质也很重要. 本文主要介绍酉矩阵的若干定义、性质和定理，并就定理做出证明.

2  酉矩阵的若干定义

定义1[1] 在复数域中，若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.

定义2[1] 在复数域中，若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.

定义3[1] 在复数域中，若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.

注： 是矩阵 的共轭转置，即 .

定义4[1] 在复数域中，若 阶方阵 的 个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称矩阵 为酉矩阵.

3  酉矩阵的若干定理

定理1[1] 设矩阵 是酉矩阵，则其行列式的模为 ，即 ，其中 为矩阵 的行列式.

证明：因为矩阵 是酉矩阵，所以 . 所以有：

注： 是矩阵 的共轭矩阵. 源[自*751^`论\文"网·www.751com.cn/

定理2[1] 设矩阵 是酉矩阵，则 ， ， 也是酉矩阵.

证明：因为 是酉矩阵，所以有：  .所以，矩阵 是酉矩阵. 因为 是酉矩阵，所以有：  . 所以，矩阵 是酉矩阵. 因为 是酉矩阵，所以有： . 所以，矩阵 是酉矩阵.

    定理3[1] 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.

        注： 是 的伴随矩阵.[4]

证明：因为 ，所以有:        .

由定理1可知 ，故 . 所以 是酉矩阵.

定理4[1] 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.

证明：因为 是酉矩阵，所以有：         .

所以 是酉矩阵. 同理可证 也是酉矩阵.

推论1 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.（ 为正整数）

推论2 若 是酉矩阵，则: .

也是酉矩阵.

推论3 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.

推论4 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.  .

定理5[2] 若矩阵 是二阶矩阵，则 是酉矩阵的充分必要条件是 满足下列三种形式