1.1矩阵特征值的相关概念:[9]
在有限维的线性空间中取一组基之后,线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换,对每个给定的线性变换,希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。为了达到在适当的选择基之后,一个线性变换的矩阵可以化成何种简单的形式,这里引入了特征值和特征向量的概念。
定义:设 是数域 上n维线性空间 的一个线性变换,如果对于数域 中一数 ,存在一个非零向量 ,使得
则 称为 的一个特征值, 称为 的属于特征值 的一个特征向量。
当数域P为是实数域时,从几何上看,特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这时或者方向不变(当 ),或者方向相反(当 ),至于 时,特征向量就被线性变换变成0.
当数域P为复数域时,从几何上看,特征向量的方向经过变换后,不仅有在原方向上的拉伸,还包含着方向的旋转变换。
从 式可以推出 ,这表明了如果 是线性变换 的属于特征值 的特征向量,那么 的任何一个非零倍数k 也是 的属于 的特征向量。这说明特征向量并不是被特征值所唯一决定的。
我们补充一下几何重数和代数重数的概念,几何重数和代数重数都是针对矩阵某个特征值来说的:一个矩阵的某特征值的几何重数——该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数;一个矩阵的某特征值的代数重数——该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关的所有Jordan块的阶数之和。
例:如下矩阵特征根 8 的几何重数为3,代数重数为6
。
了解以上的概念之后,现在来给出寻找特征值和特征向量的方法。设 是数域 上 维线性空间, , ,…, 是它的一组基,线性变换 在这组基下的矩阵是 。设 是特征值,它的一个特征向量 在 , ,…, 下的坐标是 , ,…, 。则 的坐标是 .
的坐标是 .因此 式相当于坐标之间的等式 或 。论文网
因此确定线性变换 的特征值与特征向量的方法分成以下几个步骤:
1.在线性空间 中取一组基 , ,…, ,写出线性变换 在这组基下的矩阵 ;
2.求出 的特征多项式 在数域 中全部的根,它们也就是线性变换 的全部特征值;
3.把所求得的特征值代入方程组
,
对于每一个特征值解方程组 ,求出一组基础解系,这组基础解系就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 , ,…, 下的坐标,这样也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。
1.2矩阵特征值的性质[1]
(1)任一 阶方阵 必有 个复的特征值.
(2) 与它的转置矩阵 有相同的特征值.
(3)设 是线性空间 上的可逆变换,则① 的特征值一定不为0;
② 为 的逆矩阵 的特征值.
(4) 阶实对称矩阵 有 个实的特征值,有 个线性无关的特征向量.
证:反证法。假设矩阵A对应的n个特征值为 ,对应的特征向量为 。
假设 线性无关,那么存在最小的下标p,使得 是前面向量(这些向量线性无关)的线性组合,即存在数 ,使得 ,将此式两边乘以A,并将 代入,可得
结合上式可得
因为 线性无关,因此(*)式的所有系数均为零,但是 全不为零,故 。推出 ,矛盾。故假设不成立,原命题正确。
(5)n阶正交矩阵 的特征值只能为 ,属于不同特征值的特征向量相互正交.
(6) 可逆, 为 的全部特征值,则① 为 全部特征值。② 为 的全部特征值. 矩阵特征值的意义与总结(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_76563.html