（已知 ，将后式两边同乘 有

 ，得到①式。

由①式结合 ，不难得到②式）

（7） 为 的一个特征值，则 分别为 的特征值（ 为常数， ）

（ ）

（8）若 ,则 的特征值是 的特征值的平方（要计重数）.

（9）设 ， ， 均为 级实对称阵， 是 的一个特征值，则存在 的一个特征值 ， 的一个特征值 ，使得 

（10 ） 阶矩阵所有特征值之和为矩阵的迹即 

（11） 阶矩阵特征值之积为矩阵行列式之值即 。

（12）若 是 的关于特征值 的特征向量，则对任意非零常数 ， 也是 的关于 的特征向量 .

（13）设 是线性空间 上的可逆变换，则 的特征值一定不为0， 为 的逆矩阵 的特征值.

（14）属于不同的特征值的特征向量是线性无关的，属于同一个特征值的特征向量不一定线性相关.

（15）若 为A 的特征值，且A 可逆，则  为  的特征值( 为A 的伴随矩阵)。

（由（6）可以推导出））文献综述

（16）一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。

（17）设A、B均为n阶矩阵，则AB 与BA的特征向量相同。

1.3 特征值与特征向量的求法

1.31基本计算法

    （ⅰ）求出矩阵A 的特征多项式 

    （ⅱ）求出 的全部根

    （ⅲ）把特征值  逐个代入齐次线性方程组  并求它的基础解系，即为A的属于特征根 的线性无关的特征向量。

 1.32 用初等变换法

利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。                                        

定理：设F =  且  列初等变换→ ，其中 为下三角矩阵，则 的主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A 的全部特征根，且对于矩阵A 的每一特征根  ，若矩阵 中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵  中和   中零向令所对应的列向量是属于特征根  的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到   中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么  中和   中零向量所对应的列向量是属于特征根  的全部线向无关的特征向量。来!自~751论-文|网www.751com.cn

证明：设 = 且         ，其中 

通过列初等变换将化为

 记为      中第一行元素不可能全为0，否则秩  <n 与秩  =n 矛盾。

可任取其中次数最低的一多项式，设为 ,再对 施以列初等变换，可使该行期于元素都化为零多项式或次数低于  的λ多项式，在这些次数低于 的多项式元素中，再任取其中一个次数最低的多项式,继续进行列变化，最终使 化为   如此下去，可将 化为F三角矩阵