其中， ——期望回报率（常数）， ——波动率（常数）， ——标准Brown运动；由于该公式简单明了，易于计算，故深受金融分析者的欢迎，成为实践中指导期权的定价及套期保值的重要工具。但人们很快就发现，将波动率看作常数，并不能与实际市场很好地吻合，一系列关于股票波动的实证分析表明这个参数不是常数。

期权市场数据中隐含波动率关于敲定价格曲线的“微笑”和“偏斜”效应证明了这一点。因为如果波动率是常数，则从期权成交价利用反解出来的隐含波动率应由基础股票的价格过程唯一确定，而不应与期权的敲定价格有显著的函数关系。但是“微笑”效应表明，当敲定价接近基础股票现价时，隐含波动率较小而当敲定价与基础股票现价差异较大时，隐含波动率较大。 “偏斜”效应显示,对于期权敲定价显著大于基础股票现价和显著小于基础股票现价两种情况，隐含波动率增大的程度是不同的。一种自然的解释是波动率不是常数而是随机的。它很可能与时间和股票价格都有关，甚至由股票价格以外的随机因素所控制。为此，许多作者对Black-Scholes 模型作了修正。其中一类典型的修正是将波动率定义为独立的，由第二个Brownian运动驱动的扩散过程。这就是所谓的随机波动率模型。论文网

Hull 和White(1987年)[ ]等人提出随机波动模型, 通过连续时间随机过程来对基础资产价格的随机波动进行描述。股票价格过程 满足如下随机微分方程   

式中，漂移率 是常数或时间函数， 为Brown运动， 称为波动率过程。

我们将由基础股票价格过程 和波动率过程 组成的随机过程组称为随机波动率模型（Stochastic Volatility）。

关于波动率过程 ，一些常用的模型有:

对数正态模型(LN)  ;

Ornstein-Uhlenbeck模型（OU） ;  

Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型   .   

其中，波动率过程满足Ornstein-Uhlenbeck模型的称为OU随机波动率模型；而波动率过程满足Cox-Ingersoll-Ross模型的称为CIR随机波动率模型。

随机波动率模型（以下简称SV模型）非常符合金融理论，在金融分析、金融预测等方面有着广泛的用途。但是基本SV模型描述金融序列有时显得过于简单，于是人们对基本SV模型进行了各种扩展，例如引入季节性等非平稳成分的SV模型[ ][ ]，厚尾SV模型[ ]，包含外生解释变量的SV模型[ ]，多元SV模型[ ]。

将基本随机波动模型的随机项服从正态分布换成服从t分布或者GED分布,可以有效的描述价格序列的“高峰性”和“厚尾性”。因此,许多学者在研究随机波动模型时,都将该条件加入到所研究的模型中,在此基础上进一步分析选取的随机波动率模型的优越性。为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征,Breidt等(1998)[ ]将ARFIMA过程纳入到基本SV模型中,提出了一类长记忆随机波动模型。苏卫东,张世英(2004)[ ]研究了多元长记忆SV模型及其在沪深股市的应用。关于随机波动率模型下的期权定价和套期保值的研究，近年来一直都是研究的热点课题。

另一方面，检验设定模型是否符合给定数据的问题，称为模型设定检验问题。这是统计中的一个热点问题。对于扩散类模型，出现了许多的文献，提出了一些模型设定检验方法。

扩散模型广泛应用于描述如利率, 股票价格等基础资产的动态规律, 借助对某一方面经济背景的解释, 人们提出了各种参数化的模型来拟合这些过程, 例如描述股票价格的几何Brown运动和描述瞬时利率变动的CIR模型等, 并在一些简单的模型设定下推导各类衍生证券价格的封闭解. 如基于几何Brown运动的欧式期权定价公式以及基于CIR模型的利率衍生品的定价等等. 由于衍生证券的定价或风险度量均与模型的具体设定形式有关, 模型的错误设定可能会导致定价，套期保值以及风险管理上的重大错误。因此连续时间金融模型设定的检验是非常重要的。 随机波动率模型设定检验问题的研究(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_76565.html