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假设DNA的浓度恒定不变，因此两种基因存在于相等的总浓度，浓度值设为g_0。底物S的浓度值为常数，设为s_0。假设基因G_1的Hill系数为n_1，基因G_2的Hill系数为n_2，底物S的Hill系数为n_3。一般情况下，我们假设n_1=n_2=n_3≤3，该扩充Goodwin振子的平衡符合以下形式：
在最简单的情况下，即n_1=n_2=n_3=1，根据质量作用定律有：
在解离常数K_1=([G_2 ][P_1])/([G_2∙P_1])、K_2=([G_1 ][P_2])/([G_1∙P_2])和K_3=([S][P_1])/([S∙P_1])的情况下，基因与蛋白质的复合物以及底物与酶的复合物的平衡浓度可以表示为：
[G_1∙P_2 ]=¯c_1=g_0∙¯p_2/(K_2+¯p_2 )≈g_0∙〖〖(¯p〗_2)〗_0/(K_2+〖〖(¯p〗_2)〗_0 )
[G_2∙P_1 ]=¯c_2=g_0∙¯p_1/(K_1+¯p_1 )≈g_0∙〖〖(¯p〗_1)〗_0/(K_1+〖〖(¯p〗_1)〗_0 ) (3)
[S∙P_1 ]=¯c_3=s_0∙¯p_1/(K_3+¯p_1 )≈s_0∙〖〖(¯p〗_1)〗_0/(K_3+〖〖(¯p〗_1)〗_0 )
用蛋白质的总浓度近似平衡浓度，即¯p_1=〖(p_1)〗_0、¯p_2=〖(p_2)〗_0，假设基因的数量远大于调控分子的数量。我们概括了Hill系数n为任意值时的结合函数F_j,j=1,2,3的通用形式，表示为：
{█(基因G_1:〖F_1〗^((act) ) (p_2;K_2,n)=(p_2^n)/(K_2+p_2^n )@基因G_2:〖F_2〗^((rep) ) (p_1;K_1,n)=K_1/(K_1+p_1^n ) @底物S:〖F_3〗^((act) ) (p_1;K_3,n)=(p_1^n)/(K_3+p_1^n ))┤ (4)
这里的“rep”和“act”分别代表阻抑和促进。由于P_2对G_1的转录有促进的调控作用，因此当P_2与G_1结合时，由复合物[G_1∙P_2 ]启动转录；而P_1对G_2的转录有阻抑的调控作用，因此当P_1与G_2结合时，其复合物[G_2∙P_1 ]不转录，仅由自由基因G_2启动转录；P_1作为酶促反应的正向催化酶，其与S结合后，将会加快S的反应速率。指数n，称为Hill系数[22-23]，指基因或底物达到饱和时所需结合的蛋白质或酶的数量，与分子的结合机制有关。本文考虑n最高为3的情况。举个例子说明Hill系数的意义，考虑3个蛋白质分子连续不断地与基因结合，如3个P_2依次与基因G_1结合的过程可以表示为如下的反应式：
〖 G〗_1+3P_2 □(⇔┴K_21^(-1) ) H_1^((1))+2P_2 □(⇔┴K_22^(-1) ) H_1^((2))+P_2 □(⇔┴K_23^(-1) ) H_1^((3)) (5)
其中H_1^((k))=G_1∙〖(P_2)〗_k是基因G_1和k个蛋白质P_2结合形成的复合物。
1．2 反应动力学
转录反应有两种模式，促进模式(对应于图1中的状态2)和阻抑模式(对应于图1的状态3)。相应地，转录动力学反应机理可以表示为以下形式：
{█(G_1∙P_2 □(→┴(k_1^Q ) ̃ ) G_1+Q_1 " 促进" @G_1 □(→┴(k_1^Q ) ̃ ) G_1+Q_1 "阻抑" )┤ (6)