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Clifford代数的乘法是由 的子集按字典顺序形成：
(3)
其中 为幂集 中的元素。如果 中的元素互相正交，我们称 为Blade。Blade 是标量、向量等基本元素的推广，是构成Clifford代数的基本要素。例如，当n=2时，取 ，则
(4)
上述定义中，由集合 生成的空间同构于四元数空间，也就是说，Clifford代数本身是四元数的高维推广，四元数是一类特殊的Clifford代数。
由公式(1)我们知道，Clifford代数的乘法运算不满足交换律，这对于具体数值算法的设计会带来计算量大的问题。为了减少Clifford代数在工程应用中算法复杂度高的缺点，我们把研究的重点放到一类具有可交换性质(乘法运算满足交换律)的Clifford代数上来。