泰勒级数及其应用(2)

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3.2.4牛顿迭代法 18

3.3 泰勒级数幂级数性质 19

3.4 泰勒级数收敛稳定性的应用 20

3.4.1 泰勒级数在结构动力学中的数值计算方法 21

3.4.2 泰勒级数分析数值计算方法 22

3.5 概率论中的应用 27

3.6 Stirling公式 29

结论 33

致谢 34

参考文献 35

第1章绪论

1.1 论文的研究背景和意义

无穷级数是现代微积分的重要组成部分。由于级数是研究复杂函数性质的有力工具,所以18 世纪的数学家对无穷级数理论一直怀有极大的兴趣,1669年牛顿在他的《分析学》中把一些特殊函数展开为级数，1671年格雷果里对更多的函数进行了级数展开，1712 年泰勒在研究函数表插值过程中,把牛顿一格雷果里内插公式发展成一个把函数展成无穷级数的最有力方法，1715年在他出版的《增量法及其逆》一书中叙述了把函数展开为无穷级数的一般方法。英国数学家麦克劳林在1742年的《流数术》中给出了原点处的泰勒级数，这就是后来我们所称的迈克劳林级数。泰勒级数的重要性是在半个世纪后被拉格朗日认识的。他试图以泰勒级数为全部分析学的基础,并给出了泰勒公式的拉格朗日余项公式。拉格朗日认为,泰勒级数不考虑余项是一定不能用的。然而,他并没有研究收敛性的概念,或者余项的值与无穷级数收敛性的关系。以后柯西对收敛性进行了深入的研究,并强调为了得到收敛性级数余项必须趋向于O。这样为泰勒级数奠定了牢固的理论基础。后来，维尔斯特拉斯又从级数观点建立了复变函数理论,这样使无穷级数理论成为了整个数学研究中的重要部分。文献综述

泰勒级数是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究数学的有力杠杆，并且在其他学科上有广泛的应用。泰勒级数的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握这一部分知识。

1.2 主要内容

本文介绍了泰勒级数的产生、发展及应用。泰勒公式及泰勒级数是极重要的数学工具，在各数学问题的解决中起着重要的作用，通常用来解决下问题：求函数的近似值及误差估计；证明不等式；求函数的极限；求函数在某点的高阶导数值；研究函数的极值及判断级数的敛散性等。本文以泰勒级数定义为理论基础，用工程技术中的实例详尽阐述了泰勒级数展开的一阶近似和二阶近似在求解非线性数学问题及复杂函数近似解中的重要作用。同时以概率论及无理数证明的实例，阐述了其作为幂级数的性质的应用。

第2章泰勒级数

2.1 泰勒级数的发展

在我们详细的介绍泰勒级数之前，我们先来了解他是怎么产生的。泰勒级数的产生与发展是一个漫长的过程。

早在公元前4世纪古希腊哲学家芝诺（Zeno of Elea）就在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来，亚里士多德相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决，直到被德谟克利特接手以及后来的阿基米德。正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。[2].