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图2.2 STM32F103系列微控制器引脚图
2.6 本章小结
本章主要介绍了伺服系统的发展、交流伺服系统的总体结构、ARM单片机发展与应用，阐释了新型的Cortex-M3处理器的特点，并对本文采用的STM32F103系列微控制器做了简要的介绍。了解了受控对象和ARM单片机之后，才能更好地设计控制方法与策略，并应用ARM来编写软件，解决实际问题。
3 PID控制及MATLAB仿真
3.1 模拟PID控制原理
在模拟控制系统中，控制器最常用的控制方法是PID控制。常规的模拟PID控制原理如图3.1所示。该控制系统中由模拟PID控制器和被控对象组成。图中，r(t)是给定的输入值，y(t)是系统实际的输出值，e(t)是给定值与实际值构成的控制偏差：
图3.1 模拟PID控制原理图
e(t)作为模拟PID控制器的输入，u(t)作为PID控制器的输出和被控对象的输入。所以模拟PID控制器的规律为：
式中， 为比例常数； 为积分常数； 为微分常数。
模拟PID控制器各校正环节的作用如下：
（1）比例环节：控制器的输出信号u与偏差e成比例，一旦产生偏差，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。从减小偏差角度的出发，应增加 ，但另一方面， 还影响系统的稳定性， 增加通常导致系统的稳定性降低，过大的 会导致系统振荡，破坏系统的稳定性[18]。
（2）积分环节：积分的特点是无差调节，即当系统平衡后，阶跃信号稳态设定值和被调量无差，偏差e等于0。主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分环节的作用强弱取决于时间常数 ， 越大，积分作用越弱，反之越强[19]。
（3）微分环节：微分环节的作用是阻止偏差的变化，它是依据误差的变化速度进行控制。偏差变化越快，微分控制器的输出就越大，并且可以在偏差值变大之前进行修正。微分环节的引入，有助于减少超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，尤其对于高阶系统很有利，可以加快系统的跟踪速度。然而，微分环节对输入信号的噪声十分敏感，对于噪声较大的系统一般不采用微分环节，或是在微分作用之前先对输入信号进行滤波处理[20]。
随着单片机进入控制领域，需要将模拟PID控制规律引入到单片机中来。对于式（3-2）中的模拟PID控制规律进行适当的变换，就可以到用软件实现的数字PID控制了。
3.2 数字PID控制及MATLAB仿真
3.2.1 位置式PID控制及MATLAB仿真
由于单片机本身是离散系统，那么单片机的控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，而不能像模拟PID控制那样连续输出控制量，进行连续控制。因此，公式（3-2）中的积分项和微分项无法直接使用，需要应用数学知识进行离散化处理。离散化处理的基本思想为：以T作为采样周期，k作为采样序列，那么离散的采样时间kT对应着连续时间t，利用求和的形式代替积分，增量的形式代替微分[21]，作以下近似变换：
式(3-3)中，为了表达方便，将类似于e(kT)简化成 等。
将式(3-3)代入式(3-2)中，可以得到离散的PID表达式为：
式中k为采样序号，k=0,1,2,…； 为第k次采样时刻单片机的输出值； 为第k次采样时刻输入的偏差值； 为第k-1次采样时刻输入的偏差值； 为积分常数， ； 为微分系数。
如果采样周期取得足够小，那么式(3-4)或式(3-5)的近似计算公式可以得到足够精确的结果，离散控制过程会与连续控制过程十分接近。
下面利用MATLAB对离散位置式PID控制进行仿真。取采样周期为0.001s,采样2000次，输入值为10，选定合理的控制参数后进行仿真。位置式PID控制阶跃响应如图3.2所示。
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