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摘要：本论文主要从三个方面探讨傅里叶变换方法在求解微分方程中的具体运用，即利用傅立叶变换将线性偏微分方程转换为代数方程常微分方程，然后求解傅里叶变换在解常微分方程中的具体应用；特别是这类化归方法在某些重要常微分方程中的应用，经过分析，掌握这类方法在具体运用中的局限性，从而选择适当的方法来求解具体给定的微分方程定解问题.23651
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毕业论文关键词：化归思想；傅里叶变换；微分方程
Fourier Integral Transform in The Application of Solving Differential Equations
Abstract: This paper mainly from three aspects to discuss the Fourier transform method in solving the differential equation of concrete application, namely, Fourier transform is used to change the linear partial differential equations into algebraic equation, differential equation and Fourier transform in the solution of ordinary differential equation, the specific application; Especially this kind of method in some important application of ordinary differential equations, through analysis, to grasp the method of this kind in the concrete application of the limit of sex, so as to choose the appropriate method to solve the specific given definite solution problem of differential equations.
Key words: Transforming Ideas; The Fourier Transform;The Differential Equation
引言
傅里叶变换是数学三大积分变换的一个重要分支,它在工程、数学物理及自然科学的其他学科方面均有涉略,对现代的科学技术如信息论、无线电技术等都起着无可替代.傅里叶变换的物理意义为,傅里叶变换可以采用无限叠加的方式来计算直接测量的原始信号中不同正弦波的频率、振幅与相位,从而将原来难以处理分析的时域信号转化为易于分析研究的频域信号.利用傅里叶逆变换可以将单独改变的一些正弦波信号转化为时域信号.利用这一性质使得满足某些条件的函数可分解成正弦波函数或简谐波函数的叠加.由于傅里叶变换的良好性质,使得它在数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、光学、声学等领域都有着极其广阔的应用,其研究前景更是受到了业界内外的密切关注.
目前已有大量的文献对傅里叶变换的应用进行了研究.文献[1]通过详细介绍运用傅里叶变换减少变量的个数,将线性偏微分方程简化为代数方程的求解,最后由傅里叶逆变换来得到原方程的基本解.文献[2]主要通过傅里叶变换法求解热传导方程中的Cauchy问题,进一步将其应用推广到其它函数的空间上,并同时引入其它形式的傅里叶变换公式.
本文在上述文献的基础上,针对线性偏微分方程在波动问题、热传导问题及位势问题中的应用,采用比较分析的方法对求解线性偏微分方程中的傅里叶变换法和特征线法进行总结探讨,以此来了解傅里叶变换法在求解过程中的快捷与简便.针对傅里叶变换良好的研究前景,用它来求解相关领域的微分方程时可以将复杂的问题积分变换简单化,具有一定的实际意义.
1.傅里叶变换思想
傅里叶变换思想是将观察到的与时间有关的变量和与频率有关的变量作相互转化.这种转化可以是纯数学的,也可以是机械制的.从当代数学的角度来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它可以将满足一定条件的某一个函数表示成正弦基函数的线性组合或者是积分的形式.在不同的研究领域，傅里叶变换具有着多种不同的变体形式，比如说连续的傅里叶变换和离散傅里叶变换.傅立叶变换法也广泛应用于求解无界区域的定解，问题中它的化归思想，即其求解步骤大致为：
(1)对定解问题作傅立叶变换
(2)求解象函数 论文网
(3)对象函数作傅立叶逆变换得解
其中对于半无界区域的定解问题，可先将边界条件齐次化，然后，采用延法，最后，利用傅立叶变换求解，其中所谓的延拓法，就是把半区域扩展到整个区域.