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摘要对于对流占优扩散方程的解法研究，我们有很多种方法进行求解。本课题主要运用流线扩散谱方法进行求解，空间方向采用流线扩散谱方法，时间方向采用差分方法。其中差分格式又分为Euler格式，Crank-Nicolson格式等，并对差分格式的误差估计和稳定性进行分析，并给出相关问题的一个实例以对比不同方法的优劣。另外，由于二阶方程的流线扩散格式必然导致三阶项的出现，产生一些问题，故考虑经济型格式，即将此三阶项忽略。24480
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研究对流扩散问题的数值解，能找到一种稳定有效的方法具有非常重要的理论意义。本文第一章给出了对流扩散方程的背景及基本形式；第二章对几种重要算法做了详细分析；第三章主要介绍谱方法的基本原理；第四章给出一个一文简单算例，用来验证方法的稳定性；第五章是本文的结论部分，分析论文的主要研究成果。
毕业论文关键词：对流占优扩散方程;流线扩散谱方法;经济型格式
Abstract
For the solution of convection-dominated diffusion equation research, we have a number of ways to solve it. The main topic of the use of streamline diffusion method for solving spectral, spatial orientation using streamline diffusion spectrum method, time direction using the difference method. Euler difference scheme which is pided into the format, Crank-Nicolson format, error and difference scheme estimates and stability analysis, and gives an example of related issues in order to compare the pros and cons of different approaches. In addition, since the second-order equation of flow lines will inevitably lead to the proliferation of third-order entry format, resulting in some problems, so consider economical format, is about this third-order terms are ignored.
Numerical Solution of convection-diffusion problems, to find a stable and effective method has very important theoretical significance. The first chapter gives the background and the basic form of the convection-diffusion equation; Chapter II of several important algorithms do a detailed analysis; third chapter introduces the basic principles of spectral methods; Chapter IV gives a simple one-dimensional calculation example, the method used to verify the stability; fifth chapter is the conclusion of this paper analyzes the main findings of the paper.
Keyword:convection-dominated diffusion equation，streamline-diffusion method，economical format
目录
第一章 引言 1
1.1 背景 1
1.2 问题提出 1
第二章 算法分析 2
2.1 预备知识 2
2.1.1向前差分格式 2
2.1.2向后差分格式 2
2.1.3中心差分格式 2
2.2 有限差分法 3
2.3 差分流线扩散法 4
2.3.1 问题模型 4
2.3.2 Euler-FDSD 格式 5
2.1.3 Crank-Nicolson-FDSD 格式 6
2.3 有限元法 7
第三章 谱方法 12
3.1 简介 12
3.2 Legendre 多项式 12
3.1.1 Legendre 多项式的性质及递推公式 12
3.3 谱方法求解 13
第四章 数值实验 17
第五章 结论 21
参考文献 22
致谢 23
第一章 引言
1.1 背景
对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等诸多领域。关于对流扩散方程的求解也很受关注，因此寻求一种稳定实用的数值计算方法有着非常重要的理论与实际意义。
求解对流扩散方程的数值方法有多种，这些方法有有限差分法，有限元法，有限体积法，谱方法等。但对于对流占优扩散方程的求解，用通常的差分法和有限元法将出现数值震荡。为了克服传统方法所导致的数值震荡问题，众多研究偏微分方程数值解法的专家学者通过不懈的努力，在原有理论方法的基础纸上相继提出了许多解决此种问题的方法。例如上世纪80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell等利用特征修正技术来求解对流占优扩散问题，在与其它方法相结合的基础之上，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出了流线扩散方法，它是通过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法。国内许多学者也提出了许多独到的理论方法，为对流扩散方程的理论和算法研究做出了积极的贡献，在这里不再一一枚举。由于对解决此种问题算法研究的不断改进和创新，对流占优扩散方程的理论研究有了长足的进步，并在许多领域都有了重要的应用实践意义。此外，随着计算机技术的不断发展，又为对流扩散问题的研究注入了一股新的活力，这样对于高文高阶问题的计算便得以实现。总之，对流扩散问题的理论和算法研究仍在不断进步和发展。