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摘 要：本文给出了格林公式的定义以及证明,几个经典例题并多次运用格林公式,描述了在第二型曲线积分以及二重积分计算中几种巧妙的格林公式的应用的方法,实质上就是将复杂的计算简化为简单易算的定积分的巧妙运用,使得格林公式的运用更容易被理解和掌握.31179
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毕业论文关键词：格林公式;曲线积分;闭区域;单连通区域
Green’s theorem and its applications
Abstract: In this paper,we give the definition of green’s theorem and the proof,repeatedly using the green’s theorem of typical examples,this paper introduces the green’s theorem in curvinear integral and double integral calculation of several ingenious application of method,is essentially to simplify the complicated calculation is simple and easy to calculate the using of the definite integral,makes the use of green’s theorem is easier to understand and grasp.
Key Words：Green formula;Curve integer;Closed domain;Single connected
目 录
摘要 1
引言 2
1.基础知识 3
2. 格林公式 4
2.1 格林公式的定义 4
2.2 格林公式的证明 4
3. 格林公式在计算上的应用 6
3.1封闭曲线存在直接计算 6
3.2构造封闭曲线再计算 7
3.3运用格林公式计算二重积分 9
3.4运用格林公式计算平面区域的面积 11
4格林公式在与路径无关性上的应用 13
参考文献 16
致谢 17
格林公式及其应用
引言
格林公式在大学数学的《数学分析》的专业课程的学习中发挥了很重要的作用,在课本简单介绍了格林公式的定义以及证明的同时,不仅要求学生了解格林公式的定义、证明,还要求学生能够灵活的运用它.不但遇到简单的解答题或者证明题时,能够一眼看出明显的给出的格林公式中对应的函数,需要学生透过现象看本质,而且,如果是较难计算的问题,也需要学生能够举一反三,灵活运用,可以化繁为简,减轻在计算上的负重.目前,对于格林公式的应用已经有了研究并提出了许多方法,非常值得学习.
很多文献都对格林公式在格林公式的应用这个部分做了概述,文献[4][5][7]分别介绍了格林公式及其几何意义,从概念深入了解格林公式.文献[2][8]介绍了介绍了格林公式的简单运用.文献[1][3][6]给出了格林公式在积分求解问题中的具体步骤,还有其他的一些结论.从本文可以总结出,格林公式的特点是经过巧妙地公式代入将复杂的第二型曲线积分以及二重积分的计算简化为简单的易算的定积分和不定积分的过程,解决问题的核心,从而求解.
本文给出了格林公式的定义以及证明,几个经典例题中格林公式被多次运用,描述了在第二型曲线积分以及二重积分计算中几种巧妙的格林公式的应用的方法,实质上就是将复杂的计算简化为简单易算的定积分的巧妙运用,使得格林公式的运用更容易被理解和掌握,并做出总结.
1.基础知识
定义1 若函数 在区间 内具有一阶连续导数,其图形是曲线,且处处有切线,随着切点的移动其切线是连续转动,这样的曲线称为光滑曲线.或者,从参数角度,若 和 在区间 上连续,且 ,则由参数方程 , , 属于区间 确定的曲线,称为光滑曲线.
定义2 设平面区域是 , 的边界曲线是 ,边界曲线的正方向规定为：当人沿边界走时,总有平面区域 的一部分一直在它的左边.正方向就是如图1所示的方向.
换句话说：区域的边界曲线 的负方向是：人沿曲线走,平面区域 在右边,人走的那个方向就是曲线的负方向.