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举个例子,我们考虑缓慢收敛的级数
它拥有精确的和 ,它的部分和 仅仅只有一位数字精确度,而达到751位数字精确度大约需要第40000项.
在下方的表格里,部分和 ,Shanks变换S( )都在其中,同时重复的Shanks变换 和 ( )也提供了从n直到12的值,右边的数字展示出了部分和与Shanks变换结果的绝对误差,我们可以清楚的看到在精确度和收敛速率上的改进.
n S( )
0 4.00000000 — — —
1 2.66666667 3.16666667 — —
2 3.46666667 3.13333333 3.14210526 —
3 2.89523810 3.14523810 3.14145022 3.14159936
4 3.33968254 3.13968254 3.14164332 3.14159086
5 2.97604618 3.14271284 3.14157129 3.14159323
6 3.28373848 3.14088134 3.14160284 3.14159244
7 3.01707182 3.14207182 3.14158732 3.14159274
8 3.25236593 3.14125482 3.14159566 3.14159261
9 3.04183962 3.14183962 3.14159086 3.14159267
10 3.23231581 3.14140672 3.14159377 3.14159264
11 3.05840277 3.14173610 3.14159192 3.14159266
12 3.21840277 3.14147969 3.14159314 3.14159265
Shanks变换S( )已经拥有两位数字精确度,然而原始的部分和数列在 时才拥有相同的精确度,显而易见地, 拥有751位数字精确度,它是由对 到 重复的应用Shanks变换所获得的,如同之前所说, 在大约第40000项时才拥有751位数字精确度.