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1摘要： 在高等代数中，只讨论了矩阵的加（减）法、乘法和求逆为核心的代数运算，而没有涉及到类似于数学分析中的极限等运算.可是，在研究数值方法以及线性系统的可控制等方面的问题时，这些运算又是十分必要的.本文主要根据递推数列求极限类比到递推矩阵序列求极限的问题.关键词： 矩阵序列；极限；特征值一、预备知识1）定义：设有矩阵序列{) (kA }，其中 ) (kA = n n kijC a ) () (， 且当 k ，ijkija a ) (，则称{) (kA }收敛，并把矩阵 ) ( ija A 叫做{) (kA }的极限，记为 A A kk ) (lim 或者 A A k ) (.2）定理：每一个n 级复矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似.3）命题 1：设 B A, 均为n 阶半正定实对称矩阵，且满足 n A r n ) ( 1 ，则存在实可逆矩阵C ，使 AC CT和 BC CT均为对角阵.4）命题 2：实对称矩阵A 是半正定的充分必要条件是A 的一切主子式全大于零或等于零.5) 命题 3：设若尔当形矩为i iJ11 ，则 0 lim kkJ 的充要条件为0 lim kk .6）命题 4：递推数列 n a 满足 1 n n a a ，已知 1 a ，其中 1 ，则有 1) 1 (11lim nna .7 ） 36276
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命 题 5 ： 递 推 数 列 n a 满 足 2 1 n n n qa pa a ， 已 知 2 1,a a ， 其 中1 . 0 , 0 q p q p ，则有 1 1 21 2 1) ( ) 2 (1lim a a a pqa q aann .二、递推矩阵序列求极限定理 1 设矩阵序列 } { n M 满足 B AM M n n 1 ， 已知 1 M 为 m k 矩阵， 其中A 为k 阶方阵且A 的特征值 1 ，B 为 m k 矩阵，则 nnM lim 存在.证明 因 B AM M n n 1 ，则有B AM M n n 1 ○ 1B AM M n n 1 ○ 2B AM M n n 2 1 ○ 3……B AM M 1 2 ○ n以 1 2, , , nA A A 依次从右边乘○ 2 ， ○ 3 ，……， ○ n ，然后再把n 个式子一起加起来，得B A A E M A M n nn ) (11 1 又因) )( (1 n nA A E E A E A 因 A 的特征值 1 ，有 E A 可逆.故有) ( ) (1 1E A E A A A E n n 从而有B E A E A M A M n nn ) ( ) (11 1 要想使 nnM lim 存在，只要使 nnA lim 存在即可.下证 nnA lim 存在.因 A 为 k 阶 方 阵 ， A 的 特 征 值 为 s , , , 2 1 ， 相 应 的 重 数 为 st t t , , , 2 1 ， 且k t t t s i t s i 2 1 . , , 2 , 1 , 1 .故存在k 阶可逆矩阵P ，使1JJ论文网
3因 1 i ，有 0 lim kik ，由命题 3 知 0 lim kikJ ， s i , , 2 , 1 .故有 0 lim nnA .由此可得B E A Mnn11 ) ( lim 可见这个递推矩阵序列 } { n M 与命题 4 有异曲同工之处.定理 2 设矩阵序列 } { n M 满足 1 1 n n n BM AM M ，已知 2 1,M M 都为k 阶方阵，其中A 为k 阶正定实对称矩阵， B 为k 阶半正定实对称矩阵， 且 B A 特征值全为1.则 nnM lim存在.在证明这个命题之前先看一个命题 1 的推论.推论：设 B A, 均为k 阶半正定实对称矩阵，则存在实可逆矩阵C ，使 AC CT和 BC CT均为对角阵.证明 因 B A, 均为k 阶半正定实对称矩阵.分情况讨论.若 k B A r ) ( 时，故存在k 阶可逆矩阵P ，使kTE P B A P ) (因 AP PT为实对称矩阵，故存在正交矩阵Q,使C APQ P QkT T△1令 PQ D ,则有kTE D B A D ) ( , C AD DT