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的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。因为这
些分解的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与
过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。这些分解在数值代数和最
优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少
的作用
本文从矩阵的三角分解、矩阵的最大秩分解、矩阵的QR分解、矩阵的奇异
值分解与谱分解、非负矩阵分解等5个方面进行阐述。其中，矩阵的三角分解、
满秩分解、QR分解等可以将矩阵分解为形式比较简单或者性质比较熟悉的一些
矩阵的乘积，这些分解式能够明显地反映出原先矩阵的许多数值特征，比如说矩
阵的秩、行列式、特征值以及奇异值等特征。另外一方面，构造矩阵分解式的方
法与过程也能够为我们建立数值计算方法的建立提供了理论依据。
除此之外，非负矩阵分解（NMF）是一种在矩阵中所有元素均为非负约束条
件下的矩阵分解方法。该思想为人类处理大规模数据提供了一种新的途径，具有
实现上的简便性、分解形式和分解结果上的可解释性，以及占用存储空间少等诸
多优点。NMF 可用于降文处理、数据压缩和特征提取等方面。
2 矩阵的三角分解
2.1 消元过程的矩阵描述
在论述矩阵的三角分解方法前，先了解矩阵三角分解的理论基础，即高斯消
去法的消元过程。
设n 元线性方程组为
高斯消去法的基本思想是利用
矩阵的初等变换将矩阵A化为上三角矩阵。
首先，假定化矩阵A 为上三角矩阵的过程没有用到行交换，那么就可以按照
从上至下的自然顺序进行交换。