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    摘要  本文研究了几类新的组合数和,给出了相应的递推关系.
    关键词  组合数;组合数公式;递推关系

    一、引言
        二项式定理是组合数学里的一个重要的定理. 一般地,二项式的展开式为:
     ,
    其中 称为二项式系数或组合数.41488
    关于组合数求和的公式,也就是组合公式,很多组合数学的书里已经讨论了很多,在参考文献[1—3]里已经给出了一系列的组合公式. 然而还有大量的、有趣的组合公式等着我们去发现、去研究. 在上述的二项式展开式中,可以令 , ,得到 ;同样地,令 , ,得到 . 文献[4]将其推广得到  .文献[6]在此基础上,并进一步得到如下结论:
    定理[6]  设 是正整数,若  ,则有如下递推关系论文网
     .  
    推论1[6]  设 是正整数,则有组合恒等式 = 
    推论2[6]  设 是正整数,则有组合恒等式 = .
    推论3[5]  设 是正整数,则有组合恒等式 = .
        本文是在文献[4]、[5]、[6]的基础上,从新的组合数求和式出发,利用初等的方法及组合公式 ,给出了这些组合数求和式的递推关系式.
    二、定理和定理的证明
    下面就某些有趣的组合数求和式,我们来讨论研究它们存在的某种递推关系.
    在这里,将  进行改变,得到新的组合数求和式,即 .再运用初等方法和组合公式 ,得出新形式下的组合数和的递推关系式. 即
    定理1  设 是正整数,若 ,则有如下递推关系
     
    证明  由组合数公式 ,得
    因此有
     
    类似地,对其他几类有趣的组合数和式,我们也找出了其存在的递推关系,如下:
    定理2  设 是正整数,若 ,则有如下递推关系式
     .
    证明  由组合数公式 ,即 ,得
    因此有 
     .
    定理3  设 是正整数,若 ,则有如下递推关系式
     .
    证明  同上,利用组合数公式 ,得
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