中学生对数学证明方法的理解和运用(2)

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（四）运用反证法应注意什么？ 16

参考文献 17

致谢 18

一、绪论

通过一定观察、联想、实验、类比、归纳等方法，将相关数量关系和数学经验，进行加工处理，成为数学材料，从而形成数学猜想，这样得到的命题是否正确具有很大偶然性。因此对所得到的命题，还必须有一个判断和证明的过程，来确定命题是否正确，以确保所得命题的严密性和科学性。这个过程就称为数学的证明方法。数学证明就是借助一些公理、定义和真实确定的定理来论证某一数学命题的思维过程。学习数学不仅要知其然，更要知其所以然。

反证法是数学命题证明方法中十分重要而且常用的一种证明方法。牛顿曾这样描述：“反证法是数学家最精妙的武器之一。”它是一种简洁明了的间接证明法，常常通过问题的反面去思考命题的成立与否。反证法作为一种重要的数学证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。如欧几里得就用反证法证明“素数有无穷多个”的结论、伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言、欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论等等。

反证法的逻辑思维强、数学语言的准确性高，它独特的证题方法和思维方式对培养和发展中学生的逻辑思维能力和创造性思维有重大意义。但是由于现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，教学大纲对这部分内容仅要求了解，并没有列入期末考试的范畴，生活应用或考试中涉及较少，甚至不考察，所以大多数学生对反证法并不是十分熟悉的。而在运用上它又不如直接证明法那样显而易见、自然而然，而且在归谬过程中要求学生对所学的定义、定理以及命题本身要有很高的分析、判断、联想和创造的能力。因此笔者将通过探究学生在反证法的理解和运用上存在的问题，为引导学生正确理解反证法、有效运用反证法解题提供一定教学参考，这对反证法的教学是十分有必要的。

二、反证法的概念及其理论依据

（一）反证法的由来

反证法顾名思义是一种证明方法，在数学和逻辑上是统一的。早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为“万物皆数”，即认为“大自然的一切皆为整数之比”，用整数和几何图形构建了一个宇宙图式，万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的。但是毕达哥拉斯派学者希帕索斯发现单位正方形的对角线长度就不能表示为两个整数之比，产生了不能用毕氏理论说明的数量，这就是引发第一次数学危机的无理数。随着的出现，希腊人渐渐开始重新审视他们的数学，图形和直观并不是万能的，推理和逻辑开始走上了数学的舞台。后来古希腊数学家欧多克斯证明“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”发现了，人们正是利用反证法证明不是有理数。

（二）反证法的定义

反证法有多种不同的描述，其本质都是一样的。

最早的法国数学家阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述:“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

人教版高中数学选修教材中这样定义反证法：“一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确地推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）”。即结论的反面不能成立，从而肯定命题结论的正确性，这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法。