性质1 设 为幂等矩阵,则
(1) 和 都是幂等矩阵;
(2) 的特征值只能是 或 ,且特征值 的重数为 的秩;
(3) .
定义2 设 ,若满足 ,则 称为对合矩阵,对合矩阵也是立方幂等矩阵.
性质2 设 为对合矩阵,则
(1) 是对合矩阵;
(2) ;
(3) 的特征值以及行列式都为 或 .
下面我们给出幂等变换,线性变换的核、值域、以及不变子空间的定义.
定义3 设 是线性空间 的一个线性变换,若满足 ,则 称为幂等变换 .
定义4 设 是线性空间 的一个线性变换, 的全体像组成的集合 称为的值域(本文用 表示),所有被 变成零向量的向量组成的集合 称为 的核(本文用 表示).
定义5 设 是线性空间 的一个线性变换, 是 的子空间,如果 中的向量在 下的像仍在 中,换句话说,对于 中任一向量 ,有 ,我们就称 是 的不变子空间,简称 子空间.
3 主要结论
引理1 设 , ,且满足 , ,则
(1) 若 ,则 为幂等矩阵;
(2) 为幂等矩阵的充分必要条件为 ;
(3) 为幂等矩阵的充分必要条件为 .
对此结论,将其适当推广到立方幂等矩阵上,得到如下推论:
推论1 设 , , 可逆,且 ,则
(1) 若 ,则 为立方幂等矩阵;
(2) 为立方幂等矩阵的充分条件为 ;
(3) 若 ,则 为立方幂等矩阵的必要条件为 .
证 (1)因为 ,故有 ,
即 为立方幂等矩阵.
(2)因为 ,则 ,
即 为立方幂等矩阵. 的情况类似可得.
(3)因为 为立方幂等矩阵,且 ,则 ,
即有 ,从而 ,
对上式右乘以 ,得 ,即有 .
又因为 可逆,则 ,源!自%751>文)论(文]网[www.751com.cn, ,故可得 . 的情况类似可得.
同样地,也可以得到“两个可交换的 幂等矩阵 的积也为 幂等矩阵”这一结论.
根据上述引理及推论,可以知道幂等矩阵和、差、积的幂等性,立方幂等性,对此我们考虑幂等矩阵其他线性组合的幂等性,可得到如下推论:
推论2 设 , ,且 , ,若 ,则 为幂等矩阵.