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本文内容安排如下:第一部分主要是数值积分方法研究背景及意义. 即有些微积分很难找到其原函数,就不能利用牛顿-莱布尼茨公式 来求解,探讨数值积分方法是有必要的. 第二部分主要是数值积分方法及基本知识. 简单介绍了牛顿-柯特斯算法 和复合求积算法的基本知识,着重介绍了龙贝格算法的基本知识. 第三部分主要是龙贝格算法在求解实际问题中的应用 . 即龙贝格算法在顺序输送管道混油浓度 计算中的应用 以及用龙贝格算法求卫星轨道的周长.
1.数值积分方法研究背景及意义
1.1数值积分的必要性及基本思想
在解决很多问题上我们经常需要计算积分,比如在求解微分方程和积分方程问题时,计算过程都和积分计算紧密联系.
依据微积分基本定理,对积分 ,只要被积函数 的原函数 能求出来,就能用牛顿-莱布尼茨公式( )来解决问题. 但是这种方法在解决实际问题时往往会出现很多难以解决的问题,比如有好多被积函数,像 , ,这些函数的原函数是求不出来的,因此不能使用上面的公式求解,有时候能求出函数的原函数,其计算过程也会十分复杂源!自`751+文*论(文`网[www.751com.cn. 例如被积函数 ,其原函数是:
, (1)
想要算出 , 也非常困难,当 是在实际测量中得出的一张数据表时，Newton-Leibniz公式也不能直接使用. 所以研究积分的数值计算问题是非常有必要的.
由积分中值定理 可知, 是积分区间 上一点,有 ,也即底为 ,高为 的矩形面积等于所求的曲边梯形的面积 . 问题在于点 的具体位置我们一般是不知道的,因而我们很难精确地计算出 的值. 这里我们将 称为区间 内的平均高度. 也就是说,只要能获得 的计算方法,我们就可以多一种求数值积分的方法.
令 的近似值为两端点“高度” 与 的算术平均值,则可得出求积公式:
, (2)
即是我们所熟知的梯形公式. 且如果改用区间的中点 的“高度” 作为平均高度 的近似值,则又可得出我们熟知的矩形公式：
. (3)
我们可以适当地取一些节点 在区间 上, 的近似值可用 的加权平均数来代替,得出求积公式为: ,这里求积节点是 ;求积系数是 .
这种数值积分方法就巧妙地避开了牛顿-莱布尼茨公式需要求出原函数的问题,也非常适合在计算机上使用.