拉格朗日中值定理在高中数学中的应用

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摘要I

AbstractII

目录-III

1问题的提出1

2拉格朗日中值定理--1

2.1拉格朗日中值定理及几何意义1

2.2拉格朗日中值定理的推论——罗尔中值定理2

2.3拉格朗日中值定理的简单应用3

3拉格朗日中值定理在高中数学中的应用--4

3.1拉格朗日中值定理解决函数的单调性问题4

3.2拉格朗日中值定理解决求斜率问题4

3.3拉格朗日中值定理解决不等式问题5

3.4拉格朗日中值定理解决方程根的相关问题7

3.5在高中数学应用时应该注意的问题--7

4结论8

参考文献9

致谢--10

1 问题的提出翻查近两年的高考数学试题，我们可以发现这样一个有趣的现象，即是一些题目不仅仅可以运用中学数学中的知识来解决，一旦经过深入仔细的探究，我们就能找出其中蕴含的高等数学知识．我们把这种类型的试题叫做 “高观点”试题[1]．此类试题一般具有以下的特点，一是把高等数学的知识作为题目知识背景和框架，二是此类题目体现了高等数学中的基本思想方法．翻阅这几年全国各地的高考数学卷子，我们发现这类试题俨然已经成为宠儿．此外，这类试题中也出现了不少以拉格朗日中值定理为设计框架的．拉格朗日中值定理在微分中值定理中处于重中之重的位置．函数值与导数值之间的定量联系也是通过其所建立的．其实质也就是利用导数值的变化来研究函数的增量的变化.通过对高中教材的研究，我们可以清楚地发现导数是高中数学的重要组成板块，它的基础性和重要性也决定了它成为各地高考的重点内容之一．然而，导数和函数之间的关系在高中的知识体系中是单薄的，导数仅仅是反应函数的部分特性，这使得普通学生在研究导数和函数时遇到的困难也较大.但在经历了高等数学的学习，我们知道微分中值定理是作为串联起导数和函数之间的纽带．故而，以拉格朗日中值定理为背景的试题，可以预计的，将成为考察重点和热点．基于这个定理的重要地位，及其较为明显的几何意义，选它作为试题的主线，既新颖又非常直观．本文则立足于拉格朗日中值定理本身，并结合高中数学中的例题分析其出现的形式，揭示拉式中值定理在在高中数学中的显性和隐性应用.一方面利用高等数学的视角解决问题，另一方面，由小及大的探究在中学数学中应该怎样做到运用高观点来解决中学数学中的数学问题． 2 拉格朗日中值定理 2.1 拉格朗日中值定理及几何意义拉格朗日中值定理：若函数() fx满足下列条件：（i）在闭区间  , ab连续；（ii）在开区间  , ab可导，则在开区间  , ab内至少存在一点，使ab 几何意义：若闭区间  , ab上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点    , Mf ，过点M的切线平行于割线AB.(见图1-1) yxo y=f(b)-f(a)b-axy=F(x)+f(a)y=f(x)ABb aP 图1-1 拉格朗日中值定理几何图像 2.2拉格朗日中值定理的推论——罗尔中值定理罗尔中值定理：数() fx满足下列条件：（i）在闭区间  , ab连续；（ii）在开区间  , ab可导；（iii）     f a f b  则在开区间  , ab内至少存在一点，使   0 f   .[2] 几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.（见图1-2）