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摘要：换元思想是解常微分方程的一种行之有效的数学思想.运用换元思想解常微分方程能使题目简单化、明了化，对我们的学习和研究有重要意义.论文重点就换元思想在四类常微分方程中的应用进行探究，目的在于通过这几类方程运用换元思想求解的过程，体会该思想方法的妙处，进而说明换元思想对培养学习者的数学思文和解决数学问题的能力有重要意义.7534
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关键词：换元思想； 常微分方程； 变量变换
Application of Substitution Method for Ordinary Differential Equation
Abstract: Substitution method is an effective mathematical idea for solving ordinary differential equations. Using substitution method to solve the ordinary differential equation can make the problem simple and clear, which is important for us to study and research. This paper emphasizes on the study of the application of the substitution method in four kinds of ordinary differential equations. And the purpose is to understand the method deeply by using the substitution method in these types of differential equations and to illustrate the significance of substitution method for fostering the mathematical thinking and the ability to solve mathematical problems.
Key words: Substitution method; Ordinary differential equation; Variable transformation
目 录
摘 要 1
引言 2
1.换元思想在变量分离方程中的应用 3
1.1 在齐次微分方程中的应用 3
1.2 在形如 的方程中的应用 4
1.3形如 的常微分方程. 5
1.4 形如 的方程 6
2 在一阶隐式微分方程中的应用 7
2.1 在能从 中求解出 的方程中的应用 7
2.2 在不能从 中求解出 的方程中的应用 7
3.在伯努利微分方程中的应用 10
3.1在伯努利微分方程中的应用 10
3.2 在黎卡提（Riccati）方程中的应用 12
4.小结 14
参考文献 15
致谢 16
换元思想在常微分方程中的应用研究引言
换元思想(换元法)，别名辅助元素法、变量代换法.它的特点是由引入的辅助元素，把所给复杂的、未知的题目转化为简单的、已知的题目.换元思想指的是在解题时，把某个式子或式子的一部分看成一个整体，用其他变量代换它，从而使得问题简化的方法.换元思想的实质为转化，关键是构造元和设新元，其理论依据是等价代换，目的是替换研究对象，将问题转移到新知识中研究，联系分散的条件，显露隐含条件，从而把非标准的问题化为标准问题、繁复问题化为简单问题、非熟悉问题化为熟悉问题.换元思想在应用过程中的关键点在于选择恰当的新变量，同时还应注意替换后变量的取值范围的变化.
换元思想在解常微分方程中起着重要作用，而且在解常微分方程中有着广泛的应用.对于某些微分方程，直接求解有些繁复，但若对方程进行一些简单的换元，则使方程就易于求解，进而达到求解方程的目的.故在解决这些微分方程时，需要根据其自身特点适当变量将方程化为易于求解的类型.文章就换元思想这种辅助方法在几类常微分方程中的应用进行讨论，阐述其在求常微分方程中起到的作用.
为了全面地了解并掌握换元思想在常微分方程中的应用，我查阅了大量有关于常微分解法之类的文献，并通过仔细阅读，初步学习并掌握了换元思想这一思想方法。他可以巧妙地使常微分方程变得更容易求解。比如在张晓慧教授的《解一阶微分方程的换元法》中就有详细的说明.