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    定义2矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 

    关于求解矩阵的秩,也有以下几种方法:

    (1)找到矩阵当中非零子式子的最高阶数即为矩阵的秩;

    (2)求矩阵的标准形,主对角线上1的个数即为矩阵的秩;

    (3)在初等变换的情况下,把矩阵变成行阶梯形矩阵,其中非零行的行数就是矩阵的秩(较上两种方法简单).

    2.3矩阵的秩的基本性质

    (1) (2)  (3)若 则 (4)若 则 (5) 

    3 矩阵的秩与向量间的线性关系

        判断向量组线性相关时,我们经常用  

    表示两个向量线性相关.本节我们介绍一些复杂问题的解法,也就是用矩阵的秩的有关知识解决这类问题.

    3.1线性相关及其判断源'自:751-'论/文'网"www.751com.cn

    定义3如果向量组  ,  ,   (s  2)中有一个向量可以有其余的向量组线性表示,那么向量组   ,  ,   称为线性相关.

    定理1一向量组 , , ,   .其中 是 矩阵. 为 维列向量.且 则

          , , , 线性相关   有非零解  .

     , , , 线性无关   只有零解  

    定理2 设 , , , 与 , ,  , 是两个向量组.如果

    1)向量组 , , , 可以经 , , , 线性表出,

    2) ,

    那么向量组 , , , 必线性相关.

        例1 判断 能否由 , , , 线性表出,若可以,给出线性表示式.其中 

             =(1,2,1,1), =(1,1,1,1), =(1,1,-1,-1),

              =(1,-1,1,-1), =(1,-1,-1,1).

        解 考虑以 为系数列向量,为 常数列向量的非齐次线性方程组  

    易求得 , , .由克拉默法则,得到上述方程组的唯一解为

    例2 已知 可用 线性表示,但不能用 线性表出,试判断:(1) 能否可以用 线性表示;

    (2) 能否可以用 线性表示,并说明理由.

    解  不能用 线性表示,但能用 线性表示.因为 可用 线性表示.可设

    则必有 ,否则 可用 线性表示,与已知矛盾.所以

    即 可由 线性表出.

    如 ,代入 知 与已知矛盾.即 不能用 线性表出.

    例3 若向量组 线性相关,向量组 线性无关,试问 能否由 线性表出?并说明理由.

    解 不能,因为已知 线性无关,则 线性无关,又因为 线性相关,所以 可由 线性表示.设 ,如 能由 线性表示,那么

        ,即 可由 线性表示,则 线性相关,与已知矛盾.因此, 不能用 线性表出.

    3.2极大无关组

        定义4 一向量组 , , ,  不线性相关,即没有不全为0的数 使 就称线性无关.   

        例4 求向量组 的极大线性无关组

        解 1)考虑 ,假设存在 使得 满足 得 则 是线性无关的.

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