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2 W.H.Young不等式
2.1 W.H.Young不等式的定义及证明
文献[1]中给出了W.H.Young不等式的基本形式和证明.
引理2.1.1 设函数 在 上严格递增连续， ， 为 的反函数， , 则
证明 由于 在 上严格单调增加的连续函数，得 在 上严格单调增加的连续函数，故 式中积分有意义，将区间 做 等分划，记分点为 相应的点 ,构成区间 的一个分划 ，因 在 上连续，故在 上一致连续，故 时，对于此分划来讲，有 ，
式获证.
2.1.2（W.H.Young不等式) 设函数 是严格单调增加的连续函数, ,
,又设 为 的反函数，则对任意 成立不等式,
式中等号成立当且仅当 .
证明 方法一：分析法
若 ,由 式可知，从而 中等号成立.
若 ，由 的连续性可知， ,使 ,
于是, 联系 可知 成立, 中的等号成立当且仅当 .
2.2 W.H.Young不等式的若干推广
文献[2]给出了W.H.Young不等式的如下3个引理.
引理2.2.1 设函数 在 上严格递减连续， 为 的反函数，则 .
证明 由 在 上严格递减连续，可知 在 上也严格递减连续,故积分 有意义.将 分为 个等分，记分点为 ， 相应点 构成 的一个分割 :
因 在 上连续，故在 上一致连续，当 时，对分割 来说，
于是 引理2.2.2 设函数 在 上连续且单调递减， 收敛，则