于是由此柯西不等式 得证.
证法3:
利用向量内积证明
设 , , 是 和 的夹角,
由向量积公式可得;
= , ,
故可以得到:此时又可以得到:柯西不等式 得证.证法4:
用线性相关性证明柯西不等式
设 为向量空间,若 , ,则 成立.当且仅当向量 与 线性相关时,该不等式式取等号.
证明过程如下:源:自~辣-味·论`文'网·www.751com.cn/
设 与 线性相关,则存在不全为 的实数 使得 + ,由此就有 (其中 )将其代入上式,可得到等号成立.
若 , 线性无关,则对每一个 ,都有 ,即至少有一个 , 使得 ,于是,
,或者因为 ,否则 线性相关矛盾.
于是就有 不全为 ,且 ,所以可以得到 即 ,
于是就可以得到以下结论:
如果 的等号成立,则 和 肯定线性相关.
如果 和 线性不相关,那由 可以得到如下结论:
中的等号必定成立.
综上, 得证.