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    于是由此柯西不等式   得证.

    证法3:

        利用向量内积证明

    设   ,   , 是 和 的夹角,

    由向量积公式可得;

     =   ,  ,

    故可以得到:此时又可以得到:柯西不等式   得证.证法4:

        用线性相关性证明柯西不等式 

    设 为向量空间,若   ,      ,则    成立.当且仅当向量 与 线性相关时,该不等式式取等号.

    证明过程如下:源:自~辣-味·论`文'网·www.751com.cn/

         设 与 线性相关,则存在不全为 的实数 使得 +   ,由此就有 (其中  )将其代入上式,可得到等号成立.

         若 , 线性无关,则对每一个  ,都有 ,即至少有一个 , 使得 ,于是,

       ,或者因为 ,否则 线性相关矛盾.

    于是就有 不全为 ,且 ,所以可以得到 即     ,

    于是就可以得到以下结论:

         如果    的等号成立,则 和 肯定线性相关.

    如果 和 线性不相关,那由 可以得到如下结论:

        中的等号必定成立.

    综上,   得证.

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