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（2.3.2）
（3） 勒让德多相式 ,未知函数可以表达如下：
（2.3.3）
基函数为全域基函数，实际上是在这个定义域内，未知函数用一些离散化的基函数的线性组合来表示。为了达到收敛较快的效果，最好能选择和未知函数相近的函数为基函数，这样就可以用尽量少的一些项展开函数的线性组合表示出来。但是这个前提是必须知道未知函数的特性，但往往实际情况未知函数的特性一般是不知道的，或者在全域上用一种函数去表示它，导致无法找到合适的全域基函数。有时候，就算可以找到合适的全域基函数，由于算子比较复杂，应用全域基会使计算量增加。全域基的这些缺点限制了其发展。
2.3.2分域基
分域基法是首先对未知函数 的定义域进行网格剖分，每个剖分单元都和基函数的空间元素一一对应，基函数只在 定义域的那个分域上取其值，在其他剖分单元就都取非零值。选取分域基函数作为基函数会使内积计算简单，但是选用分域基函数就明显不如全域基函数精确。
典型的分域基函数如下:
分域基法所采用的各个基函数 只是在 定义域的各个分域上才存在。展开式 (2.2)中的每个 仅在各个分域上才影响 的近似。这种方法通常可以简化计算，或简化形成的矩阵[l]。有时候，更方便的做法是将点选配与分域基结合起来使用。常见的分域基函数有以下几种:
（1） 脉冲函数 图2.3.1 脉冲基函数
其 为待求系数，则未知函数为： 。
（2） 三角形函数 图2.3.2 三角函数（两端值为0）
其中未知函数为：
（3） 修正后的勒让德多项式：
（2.3.6）
其中 是勒让德多项式 ,-1 ,则未知函数为：
（2.3.7）
选择分域基函数作展开函数是一种区域离散，即将未知函数表示为各分域上存在的函数的线性组合。分域基具有简单、灵活、不受未知函数特性约束的优点，使用方便，在数值计算中得到广泛应用。其缺点是收敛较慢，要想得到和全域基同样的精度，需要更多的分段数目。
2.4检验函数的选取
选择不同的检验函数，所得到的矩阵在形式和计算的效率上都是不同的。在很多种不同的基函数和检验函数的组合中，选择合适的组合可以收敛更快，或者能得出简单的矩阵，或者容易计算等等。所以选择合适的基函数和检验函数，是比较重要的工作，常见的有以下儿种配合:
2.4.1点匹配法
一般情况下，矩阵元素的精确求解是有困难的，常常用近似解来计算。其方法是在要计算的区域内，选择一些合适的点使其强制满足式 (1.3)，这就是所谓的点匹配。在矩量法中，这等价于用狄拉克函数作为检验函数，即得:
m=1,2,…,N （2.4.1）
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