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摘要孤立波是一种广泛存在于自然界中的非线性现象，在声、光等领域有着重要的研究价值，因而深入研究其产生和演化机理以精确描述叠加时的性质很有必要。针对介质为经过预压缩的理想的一文球状颗粒链的情形，本文从Hertz定律出发，运用长波近似条件，在波幅极小和预压缩为零这两种极限条件下分别推导出经典的Korteweg-de Vries（KdV）方程和Nesterenko方程，并给出了将其推广到更高阶的一般方法。在一般情形下则尝试发展由户田格模型，通过联立的微分方程组来进行求解。此外，孤立波的典型的的解析解和计算机模拟数值解的方法也一并给出。对这些近似方法的梳理和归纳，为进一步探究具体现象铺平了道路。lf0061
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关键词 孤立波 非线性效应 动力学方程 户田格
Abstract
Solitary waves are a special sort of nonlinear effects in nature, which have a significant value in acoustic, optics and the rest. Thus, it is necessary to further investigate the mechanism of emergence and evolution to provide an accurate description of superposition. In the article the ideal one-dimensional spherical granular chain with precompression is discussed. Then in special cases, based on Hertz Law and the long-wavelength-type approximation, the classic equation of Korteweg-de Vries is deduced when the volatility is tiny and Nesterenko’s equation is obtained without precompression, as well as the general measures to further extend them. On common conditions, a series of differential equations are proposed according to the Toda lattice model and its variants. Additionally, basic analytical solutions and numerical ones via the computer are also discussed. These summations and analyses pave the way for the following research on specific phenomena.
Keywords solitary wave nonlinear effect dynamic equation Toda lattice
目 次
1引言 1
1.1研究背景与现状 1
1.2基本假设与模型 5
2极限情形下的物理模型及其推导过程 7
2.1理论基础与假设 7
2.2波幅趋于零时的动力学理论 8
2.3无预压缩时的动力学理论 12
2.4小结 16
3一般情形下的物理模型及其推导过程 17
4计算机算法及结果 21
结论23
致谢24
参考文献25
附录A 计算机源程序 26
1 引言
1.1 研究背景与现况
颗粒物质是由大量离散的固体颗粒通过相互作用形成的具有相对稳定结构的系统。由于在该系统中无法利用热力学温度的概念来建立相应的统计理论[1]，往往需要建立单独的理论来解释其中的物理现象。显然，其所具有的物理性质与组成单元的参数有着内在的联系。其中，研究上定义了粒度来表征颗粒的大小，球形颗粒的直径即是它的粒度，而对不规则的颗粒则可构造与其行为相同的球形颗粒来描述其粒度。如果组成颗粒物质的所有颗粒均具有相同的粒度，则称该体系为单分散的，否则称之为多分散的[2]。同样，可以通过质量、泊松系数和杨氏模量等物理量来反映组成单元其他方面的性质，以此可以设法研究整体的规律。
在已知参量充足的前提下，研究的内容无非是分析单元间的相互作用。而作用力往往由间距决定，又会因此反作用于运动状态。这一过程的综合研究并非无足轻重或是空中楼阁。实际上，颗粒物质在生产、生活中广泛存在并发挥着不可或缺的作用，甚至可以说是仅次于水。世界知名杂志Science曾在2005年将“能否发展关于湍流动力学和颗粒材料运动学的综合理论”列入人类面临的125个科学难题之一[3]。这一研究不仅能揭示像沙堆一样通过接触来施加相互作用力的本质规律，还可以推广到人流等没有实际物理作用力的情形。一般而言，满足以上条件的固体体系只要单元的粒度大于 就可归入颗粒物质的研究范畴[4]。