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摘要:本文系统总结了泰勒公式在极限计算、根的存在性证明、微分估值、函数不等式的证明、定积分的计算以及判断敛散性等方面的应用．
Abstract：This article summarized the Taylor formula to calculate the limit, the root of existence proof, differential valuation function Inequality, definite integral calculation to determine convergence and pergence, and other aspects of the application.
Keywords: Taylor formula, Mathematical analysis, Application
目 录
1 引言 5
2 泰勒公式及其性质 5
2.1 泰勒公式几种余项表达式 5
2.2 泰勒公式的存在性 6
3 泰勒公式在数学分析中的应用 6
3.1 利用泰勒公式求极限 6
3.2 利用泰勒公式证明根的唯一存在性 7
3.3 利用泰勒公式证明涉及导数的不等式 8
3.4 利用泰勒公式证明函数不等式 9
3.5 利用泰勒公式判断函数的次数 10
3.6 利用泰勒公式判断级数的敛散性 10
3.7 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性 11
3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值 12
结论 14
参考文献 15
致谢 16
1 引言
泰勒公式是数学分析中一个极为重要的内容,它能够将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和解决许多数学问题的重要工具．一直以来就是数学领域研究的热点,众多数学理论研究者在泰勒公式的研究方面取得了许多重要的成就,如优化数学分析的解题过程,丰富解题的思路,精简解题步骤．
徐新亚在文[1]中将泰勒公式运用到不等式的证明中, 于力、刘三阳在文[2]则研究了带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用, 齐成辉在文[3]较为系统论述了泰勒公式的应用,但文中没有涉及利用泰勒公式来判断不等式的次数．有关泰勒公式及其应用，有许多作者进行了研究，例如文献[4-10]．
本文的目的是进一步探讨泰勒公式在数学分析中的应用, 主要研究泰勒公式在求极限，证明根的存在唯一性，证明不等式，及判别级数与积分收敛性等方面的应用．
2 泰勒公式及其性质
2.1 泰勒公式几种余项表达式
2.1.1 带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式
如果函数 在点 的某邻域内具有 阶导数,则对此邻域内的任意点 ,有
,其中 称为佩亚诺（Peano）型余项．当 时,上式称为带有佩亚诺（Peano）型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,即
．2.1.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式
如果函数 在点 的某邻域内具有 阶导数,则对此邻域内的任意点 ,有 ,
其中 介于 与 之间, 称为拉格朗日（Lagrange）型余项．当 时,上式称为带有拉格朗日（Lagrange）型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式,即
．2.1.3 带有积分型余项的泰勒公式
如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 的导数, 则对于任意的 , 可表示为 的一个 次多项式与一个余项 的和,即