下面我们来证明，当扰动 不为零时，闭环系统（2）的扰动输入和输出之间满足性能指标（3）。为此，对任意给定的正实数 ，我们将不等式（8）从0到 取积分，可得
 因为
所以又因为  我们可得
  进而可得
又根据定理1的条件，我们知道  
从而对任意t有
因为上式是对任意的t成立，所以对任意给定的正实数 ，上式也成立，即
 
从而我们得到   （9）
下面我们分 和 两种情况来讨论。首先我们考虑 的情况。此时，性能指标（3）退化为
 
显然，当我们取 ，条件（9）就可以保证上述性能指标得以满足 线性时滞系统的多目标控制器设计与仿真(3):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_10691.html