倒立摆系统的研究可以分为三个阶段：人们对倒立摆系统的研究起源于20世纪60年代。Schaefer和 Cannon在1966年的时候就运用 Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置上 。
    在七十年代初期，人们对不同模型倒立摆装置利用状态反馈理论进行了深刻的研究。Furutaetc等人利用基于线性化的方法，在1980年的时候率先实现了对二级倒立摆的控制。到了1984年的时候，Furuta等人第一次完成了对三级倒立摆控制的实验，成功实现了对三级倒立摆的有效控制，Wattes研究了线性二次型调节器即利用LQR(Linear Quadratic Regulator)方法控制倒立摆 。
到了八十年代后期的时候，倒立摆系统的研究更加得到了人们的重视，人们开始提出一些建立于非线性系统上的控制策略。Fradkov在1995年的时候，提出了基于倒立摆的无源性的控制理论。同一时间还有Wiklund实现了对环形一级倒立摆的控制。到了1995年，Li用两个模糊滑模块实现了对小车位移和摆杆的偏角的控制。1996年，张乃尧等人利用基于双闭环模糊控制理论的方法实现了对一级倒立摆的有效控制。1997年，Gordillo通过对LQR控制方法，基于遗传控制算法这两种控制方法的比较，得出遗传算法并没有传统的控制方法效果好的结论 。对三级倒立摆实物系统的稳定控制是北京师范大学李洪兴教授领导的实验室在2001年9月19日实现的，李教授于2002年8月11日，在国际上率先利用设计的控制系统成功实现了对四级倒立摆实物的控制。
1.2  倒立摆的主要控制方法
    对倒立摆这样的一个典型装置进行研究，对于各种控制方法和控制理论来说都具有非常重要的意义，因为各种不同的控制的理论和控制的方法都可以在控制倒立摆的过程中充分验证其可行性，并且在实验的过程中通过尝试结合不同的控制方法，还可能设计出新的控制方法 。倒立摆的主要控制方法有：线性控制、预测控制以及智能控制三大类。现阶段应用较广的几种控制方法有以下几种：
1.2.1  线性理论控制方法
   单级倒立摆系统是一种不稳定的系统，具有非线性的特征。通过对倒立摆系统模型进行近似线性化的处理。就能获得该系统的线性化模型，然后通过各种线性控制方法进行控制，就能得到符合要求的控制器。线性控制的典型代表有：状态反馈控制、LQR控制算法以及PID控制等 。
1）PID控制
    利用偏差的比例P、积分I、微分D通过线性组合构成被控对象的控制量，称为PID控制。PID控制是在实际工程中运用最普遍的控制方法之一，通过理论的分析及实际工程经验可得出：通过适当的对PID控制器参数进行整定，就能取得满意的控制效果 。
   由于PID是一个线性控制器，所以在对像倒立摆这种具有绝对不稳定性和非线性的系统进行控制时振荡会比较厉害，要经过多次的调试处理才能达到预期的效果 。
   2)状态反馈控制
   首先通过分析倒立摆的物理模型的受力情况，在此基础上建立倒立摆系统的动力学模型，然后再根据状态空间理论，推导出系统的状态方程和输出方程，最后应用状态反馈的控制方法，对单级倒立摆进行控制 。
   3） 线性二次型（LQR）控制
   当系统的状态空间方程是线性的，传递函数和状态变量以及控制变量之间是二次关系时，应当采用LQR控制 。线性二次型（LQR）最优控制的特点是响应速度快，系统超调量较小，而且设计过程比较简单，能够有效控制倒立摆的平衡；但是LQR控制也有其缺点，如抗干扰性能不强，当存在较大干扰时，系统容易不稳定，所以它对多级倒立摆的稳定控制困难更大。 基于MATLAB的一级倒立摆数字控制器设计(2):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_25558.html