由此，对象的模糊性实是其“边界”不明性。为表达“边界”范围这种模糊性，上面建议一种0和l间一个确定实数来描述的方案，好像把问题又清晰化了。所以，可以用自然语言中表述可能性程度的一组词来分别描述它们。
这样，事物模糊程度仍用一种模糊的方式来描述。如果对象或事物只需用“一定不能”或“指定能”就能完全表述，那么它就是个清晰对象，那么清晰对象可看作模糊对象的特例。这给模糊理论或方法设定一种“临界条件”，即被研究的对象退化为清晰时候，模糊理论及其方法须与精确理论相一致。
集合论要求，一个对象只能对应一个集合，或属于，或不属于，二者必为其一，且仅为其一。集合论自身无法处理具体模糊概念。为处理模糊进行了很多努力，诞生了模糊数学，模糊数学基础是模糊集。“模糊集理论”是1965年美国专家扎德(L A．Zadeh)教授先提出的，他在《信息与控制》(Information and Control)期刊上发表论文“模糊集合”(Fuzzy Sets)。从此模糊数学诞生，而今发展为一门独立学科。目前，模糊数学沿着理论和应用研究方向快速发展。理论研究主要是经典数学概念模糊化，形成模糊拓扑、模糊分析及模糊计算机等模糊数学分支。应用研究主要是对模糊性以内的规律探讨，对模糊逻辑及模糊信息处理研究。其范围遍及自然与社会科学几乎所有领域，特别在模糊控制、聚类分析、系统评价、人工智能及信息处理等方面取得非凡成就[11]。
19世纪末，Cantor（康托）首创集合论并快速渗入众多数学分支。自1965年模糊集合提出以后，模糊集理论产生和发展到目前也只是三十多年历史，却渗入很多领域，并取得非凡成就。有关模糊集、模糊逻辑等数学理论，称之为“模糊数学”。模糊数学(Fuzzy Mathematics Theory)是“基于模糊集基础上，阐述和处理人语言中所特有模糊信息的理论。普通集合理论应用和发展为模糊数学推广提供基础，模糊集是普通集合的推广，模糊集将隶属函数作为基石，模糊子集由其隶属函数所阐述”。
模糊集的定义：论域X上模糊集合 由隶属度函 数 (x)来表征，其中 (x)在实轴闭区间[0，1]上取值， (x)值反映了X中的元素x对于 的隶属程度；当的 (x)值域为{0,l}二值时， (x)为普通集合的隶属函数 (x)， 为普通集合A。因此可以说，普通集合是模糊集合特例。对任意给定的x∈X，都有唯一确定隶属函数 (x)∈[0,1]与之对应，类似于普通集合，可以将 表示为：
 (x)：X→[0,1]                        
即 (x)从X到[0,1]的映射，唯一确定模糊集合 。设 为X中模糊集合，对任意的 ∈[0，l]，我们称以 ={x| (x)  }为 的 截集，或称A的 水平截集，而集合以 ={ (x)﹥ }称为A的 强截集。
设A和B是X中的模糊集和，记A与B的并为A∪B，A与B的交为A∩B，A的补为 。模糊集合的并、交、补基本运算有下列性质：
(a)  交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
(b)  结合律：(A∪B)UC=A∪(B∪C)，(A∩B) ∩C=A∩(B∩C)；
    (c)  分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3.2模糊关系
定义1  设X，Y都是论域，称R∈F(X×Y)为X到Y的模糊关系。X=Y时，简称R为X上模糊关系。模糊关系对应的矩阵表示叫模糊关系矩阵[12]。
定义2  设R，S都是模糊关系矩阵，R= ，S= ,则R S= 。
是R和S的复合运算关系，当且仅当 = （   ），模糊算子“ ”，和“ ”的分别定义为： 模糊关联规则及其应用研究(5):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_2587.html