摘要建立对一个被控对象的控制，需要了解被控对象的数学模型。控制的系统分为线性系统与非线性系统，对于线性系统，目前已经建立了十分完善的理论；而在非线性系统的控制上，从以前到现在一直不断地有新的理论提出。分形系统是非线性系统的一种，广泛存在于各种自然现象中，对分形系统进行研究，能帮助我们对于分形系统进行控制。系统的本文介绍了分形系统的数学原理，对于分形文度的计算作了说明，阐释了分形集的基本性质以及区别与其他集合的特性。说明了分形集在程序上的几种算法，并且使用Matlab软件绘制了科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、魏尔斯特拉斯函数以及分形树的图案。最后对分形集中比较重要的两种集合Mandelbrot集与Julia集作了一定探究，说明了Mandelbrot集的图形细节的一些性质与Julia集的形状与参数的部分关系。31394
毕业论文关键词分形理论,分形算法,非线性系统
Title Study of Fractal system
Abstract Mathematical model is necessary when we have to establish control of an object that expected to be controlled. Control system can be pided into two sorts： linear system and non-linear system. Nowadays, we have already constructed a thorough therapy for linear system. While new therapies for non-linear system have been continually putting forward. Fractal system is one part of non-linear system, which widely exists in nature phenomena. Through the researching of fractal system, we get easier to make control of fractal phenomena. This article introduces the mathematical principles of fractal system and explain the calculation of fractal dimensions. It states the fundamental characters of fractal sets which differ from other sets and tells some algorithms for fractal systems. MATLAB is used here to plot the images of Koch Curve, Sierpinski Triangle, Weierstrass Function and the Fractal Tree. In addition, Mandelbrot Set and Julia Set are researched to give some details of images for Mandelbrot Set and the relationship between its shape and parameter in Julia Set, as they are important in fractal therapy.
Keywords Fractal system Fractal calculation Non-linear system
目次
1引言1
2分形理论4
2.1分数文度4
2.2分形性质6
3分形算法8
3.1L系统的算法8
3.2IFS算法9
3.3逃逸时间算法9
3.4MATLAB软件简介10
4古典分形的MATLAB绘制11
4.1科赫曲线11
4.2谢尔宾斯基三角形13
4.3魏尔斯特拉斯函数15
4.4分形树17
5现代分形的MATLAB绘制20
5.1Mandelbrot集21
5.2Julia集24
结论30
致谢31
参考文献32
1 引言 标准欧几里得几何从古希腊时期研究到现代，始终围绕最基本的元素：点、线、面、体。然而随着人类对自然现象的认识的深入以及数学模型的发展，经典的欧几里得几何模型对于一些问题已经显得力不从心。例如对于一个有着无限自相似性质的图形的量度，传统的方法给出的面积往往是 0或者无穷大，这显然不能满足我们对于这一类图形性质的探究。又例如对于海岸线长度的测量，对于不同的测量基尺，得到的测量长度是不断变化的。随着越来越多的对于不规则图形分析的需求的增加，对于传统的理论都提出了新的挑战。 新的理论随着数学的发展逐渐崭露头角，在 1875 年时，德国的魏尔施特拉斯（K.Weierestrass）提出了一种函数0( ) cos( )nnnf x a b x [1]，它处处连续却又处处不可微，后来的研究表明这个函数并不是一个个例，而是代表了一大类新的函数，由于处处不可导，它在多小的区间上都有皱折，并不会变得平滑。魏尔施特拉斯函数的提出宣布着人类向着分形世界踏出了第一步，其后康托尔(G.Cantor)在 1883 年提出了著名的康托尔三分集，给出了一种最为简单却又经典的分形，康托尔三分集的构造是把一个 0到1的区间分成 3段，去除中间的三分之一，然后把剩下的两个区间接着去掉中间的三分之一，循环往复，当迭代次数趋向无穷时，剩下的即为康托尔三分集。在这之后， 1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了可以填满整个平面的皮亚诺曲线。1904 年，瑞典人科赫（H.Von Koch）提出了最为人所知的科赫曲线，它的构造方法是将一条线段三等分，将中间的三分之一替换为一个没有底边的等边三角形，然后再将得到图形的每条线段重复这个动作，当迭代次数趋向于无穷时，就得到科赫曲线。1915 年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)设计了谢尔宾斯基地毯[2]。 Matlab分形系统的研究(Mandelbrot集与Julia集):http://www.751com.cn/zidonghua/lunwen_27543.html